Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние — расширение поля $E\supset K$, такое, что $E$ конечномерно над $K$ как векторное пространство. Размерность векторного пространства $E$ над $K$ называется степенью расширения и обозначается $[E:K]$.

Свойства конечных расширений

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть $[E:K]=n$, так как для любого элемента $\alpha \in E$ набор из $n+1$ элементов $1,\alpha ,{\alpha }^2,...{\alpha }^n$ не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над $K$ степени не выше $n$, такой, что $\alpha$ является его корнем.

Простое алгебраическое расширение $E=K(\alpha )$ является конечным. Если неприводимый многочлен $\alpha$ над $K$ имеет степень $n$, то $[E:K]=n$.

В башне полей $F\supset E\supset K$, поле $F$ конечно над $K$ тогда и только тогда, когда $F$ конечно над $E$ и $E$ конечно над $K$. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если $e_1,...e_n$ — базис $E$ над $K$ и $f_1,...f_m$ — базис $F$ над $E$ то $f_1{e}_1,f_1{e}_2,...f_1{e}_n,f_2{e}_1,...f_m{e}_1,...f_m{e}_n$ — базис $F$ над $K$, отсюда $[F:E][E:K]=[F:K]$.

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса $E=K(e_1,...e_n)$. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, $K({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_n)=K({\alpha }_1)({\alpha }_2)...({\alpha }_n)$. Элементы ${\alpha }_i$ будучи алгебраическими над $K$ остаются таковыми и над бо́льшим полем $K({\alpha }_1)...({\alpha }_{i-1})$. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если $E\supset K$ конечно, то для любого расширения $F\supset K$ то, (если $F$ и $E$ содержатся в каком-нибудь поле) композит полей $EF$ является конечным расширением $F$).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967