Конечно порождённое расширение

Коне́чно порождённое расшире́ние по́ля $K$ — расширение $E$ поля $K$, такое, что в $E$ существуют элементы ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ такие, что $E=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$. Элементы $E$ суть алгебраические дроби $\frac{f({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)}{g({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)}$, где $f$ и $g$ — многочлены. Если $n=1$, то расширение $K(\alpha )$ называется простым.

Свойство конечно порождённых расширений

Если конечно порождённое расширение $E=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ алгебраично над $K$, то оно конечно.

Для простого алгебраического расширения $E=K(\alpha )$ это следует из того, что множество значений многочленов от $\alpha$ $K[\alpha ]$ является не только кольцом, но и полем. Действительно, пусть $g(\alpha )\ne 0$. Тогда многочлен $g(x)$ не делится на $p(x)$ — минимальный многочлен $\alpha$ над $K$. Но $p(x)$ — неприводимый многочлен, значит $g(x)$ и $p(x)$ взаимно просты. Отсюда следует, что существуют такие многочлены $a(x)$ и $b(x)$ над $K$, что $a(x)p(x)+b(x)g(x)=1$. Подставляя в это равенство $\alpha$ имеем $b(\alpha )g(\alpha )=1$, то есть $g(\alpha )$ обратим и $K[\alpha ]$ является искомым полем $K(\alpha )$. Таким же образом деля $f(x)$ на $p(x)$ получаем, что если $p(x)$ имеет степень $n$, то $[E:K]=n$

Для расширения от нескольких элементов имеем: $K({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n)=K({\alpha }_1)({\alpha }_2)\dots ({\alpha }_n)$. Элементы ${\alpha }_i$ будучи алгебраическими над $K$ остаются таковыми и над большим полем $K({\alpha }_1)\dots ({\alpha }_{i-1})$. Далее применяем теорему о башне конечных расширений.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967