Норма (теория полей)

Шаблон:Значения Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n, $\alpha$ — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование $x\mapsto \alpha x$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается $N_K^E(\alpha )$ или просто $N(\alpha )$, если понятно, о каком расширении идет речь.

Свойства

• $N(\alpha )=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha =0$.
• $N_K^E(\alpha )={\alpha }^{[E:K]}$ для любого $\alpha \in K$
• $N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
• Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений $K\subset E\subset F$ имеем $N_K^E(N_E^F(\alpha ))=N_K^F(\alpha )$
• Если E = K(α) — простое алгебраическое расширение и Шаблон:Math — минимальный многочлен α, то $N_K^E(\alpha )=(-1{)}^n{a}_0$

Выражение нормы через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁, σ₂ … σ_m — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

$N_K^E(\alpha )={\sigma }_1(\alpha ){\sigma }_2(\alpha )\dots {\sigma }_m(\alpha )$

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда $N_K^E(\alpha )=({\sigma }_1(\alpha ){\sigma }_2(\alpha )\dots {\sigma }_m(\alpha ){)}^{n/m}.$

Пример

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе $(1,i)$ умножению на $a+bi$ соответствует матрица

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$

Определитель этой матрицы равен $a^2+b^2$, то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как $|z{|}^2=z\overline{z},$ и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.

См. также

• Норма в числовом поле
• След (теория полей)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга