Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения $\xi$ с базой $B$ классы Понтрягина обозначаются символом $p_i(\xi )\in H^{4i}(B)$ и полагаются равными

$p_i(\xi )=(-1{)}^i{c}_{2i}(\xi \otimes ℂ)$,

где $\xi \otimes ℂ$ — комплексификация расслоения $\xi$, a $c_i$ — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

$p(\xi )=1+p_1(\xi )+p_2(\xi )+\dots$.

Если $B$ — гладкое многообразие и расслоение $\xi$ явно не указывается, то предполагается что $\xi$ есть касательное расслоение $B$.

Свойства

• Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и $\hat{A}$-класс.
• Если $\xi$, $\eta$ — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      $p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$ имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$.
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения $\xi$ справедливо равенство
      $p_k(\xi )=e(\xi {)}^2,$
  где $e(\xi )$ обозначает Шаблон:Не переведено.

Литература

• Понтрягин Л. С.  «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П.  «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Шаблон:Книга