Теорема Атьи — Зингера об индексе

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом, нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление Шаблон:Nobr — теорию индекса.

Определения и формулировка

Шаблон:ЯкорьАналитический индекс дифференциального оператора $d:C^{\mathrm{\infty }}(E)\to C^{\mathrm{\infty }}(F)$, где $E$ и $F$ — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием $X$, — это разность между размерностями его ядра и коядра:

$i_a(d)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}d=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{d}^{-1}(0)-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{C}^{\mathrm{\infty }}(F)/d(C^{\mathrm{\infty }}(E))$.

Для эллиптических операторов эти размерности конечны.

Шаблон:ЯкорьТопологический индекс эллиптического оператора $d:C^{\mathrm{\infty }}(E)\to C^{\mathrm{\infty }}(F)$ определяется как:

$i_t(d)=\{\mathrm{c}\mathrm{h}V(\sigma )\cdot {\pi }_{\mathrm{\Sigma }}^{*}𝒯(X)\}[\mathrm{\Sigma }(X)]$,

где $\sigma (d)$ — символ оператора $d$, определяющий изоморфизм поднятий $\sigma (d):{\pi }^{*}(E)\to {\pi }^{*}(F)$, $\pi :S(X)\to X$ — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения $T^{*}X$ многообразия $X$, $V(\sigma )$ — расслоение ${\pi }^{+*}(E){\cup }_{\sigma }(d){\pi }^{-*}(F)$ над склейкой $\mathrm{\Sigma }(X)=B^{+}{\cup }_{S(X)}{B}^{-}$ двух экземпляров пространства расслоений $B(X)$ единичных шаров в $T^{*}X$ ($S(X)$ — край $B(X)$); $\mathrm{c}\mathrm{h}V(\sigma )$ — когомологический характер Чженя расслоения $V(\sigma )$; $𝒯(X)$ — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения $T^{*}X{\otimes }_{ℝ}ℂ$; ${\pi }_{\mathrm{\Sigma }}^{*}:\mathrm{\Sigma }(X)\to X$; ${\pi }_{\mathrm{\Sigma }}^{*}𝒯(X)=𝒯(\mathrm{\Sigma }(X))$, а часть «$[\mathrm{\Sigma }(X)]$» означает взятие $2n$-мерной компоненты элемента $\{\mathrm{c}\mathrm{h}V(\sigma )\cdot {\pi }_{\mathrm{\Sigma }}^{*}𝒯(X)\}$ на фундаментальном цикле многообразия $\mathrm{\Sigma }(X)$.

Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.

История

Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — Шаблон:Iw (1954).

Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году, обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностьюШаблон:Sfn. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык $K$-теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.

Теорема об индексе (наряду с $K$-теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля.

Следствия

Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю.

Теорема Римана — Роха и её обобщения — Шаблон:Iw и Шаблон:Iw — естественные следствия теоремы об индексе.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:МатЭнц