Эллиптический оператор

Эллиптический оператор — дифференциальный оператор 2-го порядка в частных производных. Является частным случаем гипоэлиптического оператора

Определение

Дифференциальный оператор $L=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(𝐱)\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{k=1}^n{b}_k(𝐱)\frac{\partial }{\partial x_k}+c$ называется эллиптическим оператором, если квадратичная форма $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(𝐱){\xi }_i{\xi }_j$ имеет один и тот же знак для всех $𝐱$.

Применение эллиптических операторов

Эллиптические операторы применяются для исследования и решения эллиптических уравнений. Любое эллиптическое уравнение можно записать в виде $Lu=f$. Так же свойства операторов используются при построении численных методов для решения уравнений. В некоторых случаях эти результаты обобщаются на параболические и гиперболические уравнения (при дискретизации этих уравнений только по времени получаются эллиптические уравнения для каждого временного слоя).

Примеры эллиптических операторов

• Оператор Лапласа, записывается в виде $L=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$
• Обобщения оператора Лапласа, оператор вида $L=-\mathrm{\nabla }\cdot p(𝐱)\mathrm{\nabla }+q(𝐱)$, где $p(𝐱)>0,q(𝐱)\ge 0$. Собственные значения такого оператора находятся из задачи Штурма-Лиувилля. На множестве функций $H_0(\mathrm{\Omega })=\{u\in H(\mathrm{\Omega }),u{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\}$ ($H(\mathrm{\Omega })$ пространство Лебега на $\mathrm{\Omega }$) данный оператор является самосопряжённым и положительно определённым.
• Примером нелинейного эллиптического оператора является оператор $Lu=\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}(|\mathrm{\nabla }u|\frac{\partial u}{\partial x_i})$