Гиперболические уравнения

Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Уравнения второго порядка

Рассмотрим общий вид скалярного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:{ℝ}^n\to ℝ$:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{k=1}^n{b}_k\frac{\partial u}{\partial x_k}+cu=f(x_1,\dots ,x_n)$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть $a_{ij}=a_{ji}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

$\left(\mathrm{\nabla }A{\mathrm{\nabla }}^T\right)u+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }u+cu=f(x_1,\dots ,x_n)$,

где $A=A^T$.
Матрица $A$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна $(n-1,1)$, то есть матрица $A$ имеет $n-1$ положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: $n-1$ отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу.

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

$Lu-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=f(x_1,\dots ,x_{n-1},t)$,

где $L$ — положительно определённый эллиптический оператор, $a\ne 0$.

Уравнения первого порядка на плоскости

Уравнение типа

$u_t+A{u}_x=h(t,x,u)$,

где $x\in ℝ$, $t\in ℝ$, $A=A(x,t,u)\in {ℝ}^{n\cdot n}$ — квадратные матрицы и $u=u(x,t)\in {ℝ}^n$ — неизвестные, являются гиперболическими, если матрица $A$ имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров.

Решение гиперболических уравнений

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями. Поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

• Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном — в виде формулы Пуассона — Парсеваля.
• Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений.
• Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами), а также другие численные методы, подходящие для задачи.

Примеры гиперболических уравнений

• Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее.
• Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов $𝐀,𝐄,𝐁,𝐃,𝐇$, считая ненулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным).
• Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.

См. также

• Эллиптические уравнения
• Параболическое уравнение
• Схема с разностями против потока

Литература

• Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.
• Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — Шаблон:М., Наука, 1984. — 208 с.