Метод разделения переменных

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жан-Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов) и методом стоячих волнШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от $x$ на функцию только от $y$ (при этом функция $y$ является функцией от $x$). Шаблон:Sfn:

$\frac{dy(x)}{dx}=g(x)h(y(x)).(1)$

При $h(y(x))\ne 0$ это уравнение можно переписать в виде

$\frac{dy(x)}{h(y(x))}=g(x)dx$.

Пусть $y(x)$ — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

$\int \frac{dy(x)}{h(y(x))}=\int g(x)dx+C$.

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в видеШаблон:Sfn:

$M(x)N(y(x))dx+P(x)Q(y(x))dy(x)=0,$

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на $N(y(x))P(x)$:

$\frac{M(x)dx}{P(x)}+\frac{Q(y(x))dy(x)}{N(y(x))}=0,$

откуда получится общий интеграл

$\int \frac{M(x)dx}{P(x)}+\int \frac{Q(y(x))dy(x)}{N(y(x))}=C.$

Пример

Пусть

$xdy-ydx=0$Шаблон:Sfn.

Разделяя переменные, получим

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}.$

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь

$\ln |y|=\ln |x|+\ln C_1,$

где $C_1$ — положительная постоянная. Отсюда

$|y|=C_1|x|$

или

$y=Cx,$

где $C=\pm C_1$ — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции $x=0$ и $y=0$. Последнее решение получается из общего решения $y=Cx$ при $C=0$.

Уравнения в частных производных

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков Шаблон:Sfn.

Однородное уравнение

Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концахШаблон:Sfn:

$u_{tt}=a^2{u}_{xx},(2)$

$u(0,t)=0,u(l,t)=0,(3)$

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x).(4)$

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения

$u(x,t)=X(x)T(t).(5)$

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на $a^{2}X(x)T(t)$:

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=\frac{T^{″}(t)}{a^{2}T(t)}.(6)$

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного $x$, правая — только $t$. Следовательно, обе части не зависят ни от $x$, ни от $t$ и равны некоторой константе $-\lambda$. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций $X(x)$ и $T(t)$:

$X^{″}(x)+\lambda X(x)=0,X(x)\equiv ̸0,(7)$

$T^{″}(t)+a^2\lambda T(t)=0,T(t)\equiv ̸0,(8)$

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем

$X(0)=X(l)=0.(9)$

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)

$X_n(x)=\sin \frac{\pi n}{l}x,$

определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях $\lambda$, равных собственным значениям

${\lambda }_n={\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^2,n=1,2,3,\dots$

Этим же значениям ${\lambda }_n$ соответствуют решения уравнения (8)

$T_n(t)=A_n\cos \frac{\pi n}{l}at+B_n\sin \frac{\pi n}{l}at,$

где $A_n$ и $B_n$ — произвольные постоянные.

Таким образом, функции

$u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)$

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos \frac{\pi n}{l}at+B_n\sin \frac{\pi n}{l}at)\sin \frac{\pi n}{l}x,$

где константы $A_n$ и $B_n$ могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций $\phi (x)$ и $\psi (x)$:

$A_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\phi (x)\sin \frac{\pi n}{l}xdx,B_n=\frac{2}{\pi na}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\psi (x)\sin \frac{\pi n}{l}xdx.$

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида

$\frac{\partial }{\partial x}[k(x)\frac{\partial u}{\partial x}]-q(x)u=\rho (x)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2},$

где $k$, $q$ и $\rho$ — непрерывные положительные на отрезке $0<x<l$ функцииШаблон:Sfn. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

$\frac{d}{dx}[k(x)\frac{dX}{dx}]-q(x)X+\lambda \rho (x)X=0,X(0)=X(l)=0.(10)$

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. СтекловуШаблон:Sfn. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Неоднородное уравнение

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. КрыловаШаблон:Sfn. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}+f(x,t)(11)$

функции $u$ и $f$ разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(t)\sin \frac{\pi n}{l}x,$

$f(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(t)\sin \frac{\pi n}{l}x.$

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы $\{\sin \frac{\pi n}{l}x\}$ даёт уравнение относительно $T_n(t)$:

$T^{\prime }{\text{'}}_n(t)+a^2{\lambda }_n{T}_n(t)=f_n(t).(12)$

Функции $T_n(t)$ могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

Программное обеспечение

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

См. также

• Ряд Фурье
• Задача Штурма — Лиувилля

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга