Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке $(a,b)$ уравнения Штурма — Лиувилля

$L[y]=\lambda \rho (x)y(x),$

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

$\begin{array}{c}{\alpha }_1{y}^{\prime }(a)+{\beta }_{1}y(a)=0,{\alpha }_1^2+{\beta }_1^2\ne 0;\\ {\alpha }_2{y}^{\prime }(b)+{\beta }_{2}y(b)=0,{\alpha }_2^2+{\beta }_2^2\ne 0;\end{array}$

и значений параметра $\lambda$, при которых такие решения существуют.

Оператор $L[y]$ здесь — это действующий на функцию $y(x)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

$L[y]\equiv \frac{d}{dx}[-p(x)\frac{dy}{dx}]+q(x)y(x)$

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), $x$ — вещественный аргумент.

Функции $p(x),p^{\prime }(x),q(x),\rho (x)$ предполагаются непрерывными на $(a,b)$, кроме того функции $p(x),\rho (x)$ положительны на $(a,b)$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения $\lambda$, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи

Вид уравнения

Если функции $\rho$ и $p$ дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке $[a,b]$ и функция $q$ непрерывна на $[a,b]$, то уравнение Штурма — Лиувилля вида

$(p(x)y^{\prime }{)}^{\prime }-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$

при помощи преобразования Лиувилля приводится к видуШаблон:SfnШаблон:Sfn

$-y^{″}+q_1(x)y=\lambda y.(1)$

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию $q_1(x)$ называют потенциаломШаблон:SfnШаблон:Sfn. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, $L$ (суммируемыми), $L_2$ и других.

Виды краевых условий

• Условия Дирихле $y(a)=y(b)=0.$
• Условия Неймана $y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)=0$
• Условия Робена $y^{\prime }(a)-hy(a)=0,y^{\prime }(b)+Hy(b)=0.$
• Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка $[a,b]$.
• Распадающиеся краевые условия общего вида

$\begin{array}{c}{\alpha }_1{y}^{\prime }(a)+{\beta }_{1}y(a)=0,{\alpha }_1^2+{\beta }_1^2\ne 0;\\ {\alpha }_2{y}^{\prime }(b)+{\beta }_{2}y(b)=0,{\alpha }_2^2+{\beta }_2^2\ne 0.\end{array}$

• Периодические условия $y(a)=y(b),y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)$.
• Антипериодические условия $y(a)=-y(b),y^{\prime }(a)=-y^{\prime }(b)$.
• Общие краевые условия

$a_{i1}y(a)+a_{i2}{y}^{\prime }(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}{y}^{\prime }(b)=0,i=1,2.$

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты $a_{ij}$.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Для удобства произвольный отрезок $[a,b]$ часто переводят в отрезок $[0,l]$ или $[0,\pi ]$ с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

Оператор Штурма — Лиувилля

$Ly=-\frac{1}{\rho (x)}(\frac{d}{dx}[p(x)\frac{d}{dx}y]-q(x)y)$

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператораШаблон:Sfn

$p_0(x)y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\dots +p_n(x)y.$

Область определения оператора $L$ состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $y$, удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора $L$: $Ly=\lambda y$. Если функции $p,q,\rho$ и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор $L$ является самосопряжённым в гильбертовом пространстве $L_2([a,b],\rho (x)dx)$. Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом $\rho (x)$.

Решение задачи

Пример

Шаблон:Якорь Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

$-y^{″}=\lambda y,(2)$

$y(0)=y(l)=0$

может быть найдено в явном видеШаблон:Sfn. Пусть $\lambda ={\rho }^2$. Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном $\lambda$ имеет вид

$y(x)=A\sin \rho x+B\cos \rho x(3)$

(в частности, при $\rho =0$ (3) дает $y(x)=Ax+B$). Из $y(0)=0$ следует $B=0$. Подставляя (3) в краевое условие $y(l)=0$, получаем $A\sin \rho l=0$. Так как мы ищем нетривиальные решения, то $A\ne 0$, и мы приходим к уравнению на собственные значения

$\sin \rho l=0.$

Его корни ${\rho }_n=\frac{\pi n}{l}$, следовательно, искомые собственные значения имеют вид

${\lambda }_n={\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^2,n=1,2,3,\dots$

а соответствующие им собственные функции суть

$y_n(x)=\sin \frac{\pi n}{l}x,n=1,2,3,\dots$

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

$-y^{″}+q(x)y=\lambda y(4)$

представимо в виде линейной комбинации

$y(x)=AS(x,\lambda )+BC(x,\lambda )(5)$

его решений $S(x,\lambda )$ и $C(x,\lambda )$, удовлетворяющих начальным условиям

$S(0,\lambda )=C^{\prime }(0,\lambda )=0,S^{\prime }(0,\lambda )=C(0,\lambda )=1$.

Решения $S(x,\lambda )$ и $C(x,\lambda )$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по $\lambda$ при каждом фиксированном $x$. (При $q(x)\equiv 0$ $S(x,\lambda )=\sin \rho x$, $C(x,\lambda )=\cos \rho x$, $\rho =\sqrt{\lambda }$). Подставляя (5) в краевые условия $y(0)=y(\pi )=0$, получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

$\mathrm{\Delta }(\lambda )=S(\pi ,\lambda ),$

аналитической во всей $\lambda$-плоскости.Шаблон:Sfn

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

${\sqrt{\lambda }}_n=n+\frac{c}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right),c=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}q(\tau )d\tau ,$

$y_n(x)=\sin nx+O\left(\frac{1}{n^2}\right),$

(в случае непрерывного на $[0,\pi ]$ потенциала $q(x)$).Шаблон:Sfn При больших $n$ собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

• Существует бесконечное счетное множество собственных значений: ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n<\dots$
• Каждому собственному значению ${\lambda }_n$ соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция $y_n$.
• Все собственные значения вещественны.
• В случае граничных условий $y(a)=y(b)=0$ и при выполнении условия $q(x)⩾0$ все собственные значения положительны ${\lambda }_n>0$.
• Собственные функции $y_n(x)$ образуют на $[a,b]$ ортогональную с весом $\rho (x)$ систему $\{y_n(x)\}$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}_n(x)y_m(x)\rho (x)dx=0,n\ne m.$

• Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решения

• Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле $y(a)=y(b)=0$, можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями $u(a)=0$, $u^{\prime }(a)=\lambda$ и вести пристрелку параметра $\lambda$ до выполнения правого краевого условия.Шаблон:Sfn
• Метод конечных разностейШаблон:Sfn. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
• Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция $y=\{y_0,y_1,\dots ,y_N\}$ дополняется компонентой $y_{N+1}=\lambda$. Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.Шаблон:Sfn
• Метод Галёркина.Шаблон:Sfn
• Вариационные методы.

Применение к решению уравнений в частных производных

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

$\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_x{)}_x-q(x)u,0<x<l,t>0,(6)$

$(h_1{u}_x-hu{)}_{|x=0}=0,(H_1{u}_x+Hu{)}_{|x=l}=0,(7)$

$u_{|t=0}=\mathrm{\Phi }(x),u_{t|t=0}=\mathrm{\Psi }(x).(8)$

Здесь $x$ и $t$ — независимые переменные, $u(x,t)$ — неизвестная функция, $\rho$, $k$, $q$, $\mathrm{\Phi }$, $\mathrm{\Psi }$ — известные функции, $h,h_1,H,H_1$ — вещественные числа.Шаблон:Sfn Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

$u(x,t)=Y(x)T(t).(9)$

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

$\frac{(k(x)Y^{\prime }(x){)}^{\prime }-q(x)Y(x)}{\rho (x)Y(x)}=\frac{T^{″}(t)}{T(t)}.$

Так как $x$ и $t$ — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через $-\lambda$. Получаем

$T^{″}(t)+\lambda T(t)=0,(10)$

$-(k(x)Y^{\prime }(x){)}^{\prime }+q(x)Y(x)=\lambda \rho (x)Y(x),0<x<l.(11)$

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

$h_1{Y}^{\prime }(0)-hY(0)=0,H_1{Y}^{\prime }(l)+HY(l)=0.(12)$

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях $\lambda$, являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) ${\lambda }_n$. Эти решения имеют вид $T_n(t)Y_n(x)$, где $Y_n(x)$ — собственные функции задачи (11) — (12), $T_n(t)$ — решения уравнения (10) при $\lambda ={\lambda }_n$. Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля $Y_n(x)$):

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(t)Y_n(x).$

Обратные задачи Штурма — Лиувилля

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала $q(x)$ оператора Штурма — Лиувилля $-y^{″}+q(x)y$ и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ($-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве $L_2$.
3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал $q(x)$. Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.Шаблон:Sfn

См. также

• Краевая задача
• Собственный вектор
• Дифференциальный оператор
• Метод разделения переменных

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга