Ортогональные функции

Две, в общем случае, комплекснозначные функции ${\phi }_1(t)$ и ${\phi }_2(t)$, принадлежащие пространству Лебега $L_2(E)$, где $E$ — измеримое множество, называются ортогональными, если

$\underset{E}{\int }{\phi }_1(t)\overline{{\phi }_2(t)}dt=0$

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности. Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом $w$ функции $f$ и $g$, если

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }⟨f(x),g(x)⟩w(x)d\mathrm{\Omega }=0$

где $⟨f(x),g(x)⟩$ — скалярное произведение векторов $f(x)$ и $g(x)$ — значений векторнозначных функций $f$ и $g$ в точке $x$, $x$ — точка области $\mathrm{\Omega }$, а $d\mathrm{\Omega }$ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных $f(x)$, $g(x)$ скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных $f(x)$, $g(x)$: $⟨f(x),g(x)⟩=\overline{f}(x)g(x)$.

Требование принадлежности функций пространству $L_2(E)$ связано с тем, что при $p\ne 2$ пространства $L_p(E)$ не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример

1. $\sin x$ и $\cos x$ являются ортогональными функциями на интервале $[0,\pi ]$
2. $\sin (2\pi knx$) и $\cos (2\pi knx)$, где $n$ — целое, ортогональны на интервале $[0,T],T=1/k$
3. $x$ и $1$ ортогональны на интервале $[-1,1]$

См. также

• Ортогональность
• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье