Теорема Стеклова

Теорема Стеклова — одна из фундаментальных теорем математической физики и теории рядов Фурье. Одно из важнейших применений теоремы Стеклова в теории дифференциальных уравнений в частных производных состоит в том, что она дает строгое математическое обоснование метода Фурье (разделения переменных) для решения смешанных краевых задач для уравнений гиперболического типа (например, уравнения колебаний струны). Доказана в начале XX века русским математиком В. А. Стекловым.

Шаблон:Рамка Любая функция $f\in C^2[a,b]$, удовлетворяющая условиям $f(a)=f(b)=0$, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций $\{y_n(x)\}$ задачи Штурма—Лиувилля, то есть

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{y}_n(x),c_n=\frac{(f,y_n)}{(y_n,y_n)},$

где скалярное произведение $(\cdot ,\cdot )$ и ортогональность системы функций понимаются в смысле гильбертова пространства $L^2[a,b].$ Шаблон:Конец рамки

Литература

• Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Ч. I—II. — Пг., 1922—1923.
• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука, 1988.