Волновое уравнение

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вид уравнения

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

$\mathrm{\Delta }u=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$,

где $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа, $u=u(x,t)$ — неизвестная функция, $t\in ℝ$ — время, $x\in {ℝ}^n$ — пространственная переменная, $v$ — фазовая скорость.

Шаблон:Скрытый

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$.

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне (чем более острые "горбы"), тем большая сила растягивает данный участок струны.

Оператор Д’Аламбера

Разность $\mathrm{\Delta }-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$ называется оператором Д’Аламбера и обозначается как $◻$ (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

$◻u=0$

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\mathrm{\Delta }u+f$,

где $f=f(x,t)$ — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой $u(x,t)=U(x)e^{i\omega t}$ или $u(x,t)=U(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t)$.

Решение волнового уравнения

Шаблон:Main Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (${ℝ}^1$) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (${ℝ}^2$) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Шаблон:Main Решение одномерного волнового уравнения (здесь $v=a$ — фазовая скорость)

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}+f(x,t)$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)$

имеет вид

$u(x,t)=\frac{\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha +\frac{1}{2a}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{x-a(t-\tau )}{\overset{x+a(t-\tau )}{\int }}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно заметить, что решение однородной задачи

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$,

имеющее следующий вид:

$u(x,t)=\frac{\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha$,

может быть представлено в виде

$u(x,t)=f_1(x+at)+f_2(x-at)$,

где

$f_1(x)=\frac{\phi (x)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha ,f_2(x)=\frac{\phi (x)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x}{\overset{0}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha$.

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой $[0;+\mathrm{\infty })$

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$

с закрепленным концом:

$u(0,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)$

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

$\phi (0)=0,\psi (0)=0$

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

$\phi (-x)=-\phi (x),\psi (-x)=-\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,+\mathrm{\infty })$

В силу того, что начальные условия $\phi (x),\psi (x)$ — нечётные функции, логично ожидать, что и решение $u(x,t)$ будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию $u(0,t)=0$ (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце $x=0$:

$u_x(0,t)=0$.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области

Метод отражений

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

$u(0,t)=0u(a,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,a]$

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

$\phi (2na+x)=\phi (x)\psi (2na+x)=\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,a]\mathrm{\forall }n\in Z$

$\phi (2na-x)=-\phi (x)\psi (2na-x)=-\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,a]\mathrm{\forall }n\in Z$

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}+f(x,t)$

используются ровно те же соображения, и функция $f(x,t)$ продолжается таким же образом.

Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,l]$

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода

$u(0,t)=0u(l,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,l]$

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

$X(x)T(t)$, где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция $u(x,t)=X(x)T(t)$ была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

$X(0)=0X(l)=0$

$a^2{X}^{″}(x)=-\lambda X(x)$

$T^{″}(t)=-\lambda T(t)$

Решение задачи Штурма-Лиувилля на $X(x)$ приводит к ответу:

$X_n(x)=\sin \left(\frac{\pi nx}{l}\right)n\in 𝐍$

и их собственным значениям ${\lambda }_n={\left(\frac{\pi na}{l}\right)}^2$

Соответствующие им функции $T$ выглядят как

$T_n(t)={\alpha }_n\sin ({\sqrt{\lambda }}_{n}t)+{\beta }_n\cos ({\sqrt{\lambda }}_{n}t).$

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{X}_n(x)T_n(t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}({\alpha }_n\sin ({\sqrt{\lambda }}_{n}t)+{\beta }_n\cos ({\sqrt{\lambda }}_{n}t))\sin \frac{\pi nx}{l}.$

Разложив функции $\phi (x),\psi (x)$ в ряд Фурье, можно получить коэффициенты ${\alpha }_n,{\beta }_n$, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волн

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=u_{xx},$

однако на сей раз положим однородные начальные условия

$u(x,0)\equiv 0,u_t(x,0)\equiv 0\mathrm{\forall }x\in [0,a]$

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

$u(0,t)=\mu (t)u(a,t)=\nu (t)$

Решение записывается в виде

$u(x,t)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}[\mu (t-x-2ka)-\mu (t+x-(2k+2)a)]+\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}[\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (t-x-(2k+1)a)]$

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

$\mu (t-x),$

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

$\mu (t+x-2a),$

через время а снова отражается и дает вклад

$\mu (t-x-2a),$

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке $[0,T]$, то мы можем ограничиться лишь первыми $\lceil T/a\rceil$ слагаемыми.

Уравнение плоской электромагнитной волны

Примером физических величин, поведение которых описывается волновым уравнением, являются электрическая и магнитная компоненты электромагнитной волны.

Система уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеет вид

$\mathrm{rot}𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\mathrm{div}𝐃=\rho$

$\mathrm{rot}𝐇=𝐣+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}\mathrm{div}𝐁=0$.

При этом действуют соотношения $𝐁=\mu {\mu }_0𝐇$ и $𝐃=\epsilon {\epsilon }_0𝐄$. Здесь $𝐄$ — напряженность электрического поля, $𝐇$ — напряженность магнитного поля, $𝐁$ — магнитная индукция, $𝐃$ — электрическое смещение, $𝐣$ — плотность тока, $\rho$ — плотность заряда, $\mu$ — магнитная проницаемость, $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость, ${\mu }_0$ — магнитная постоянная, ${\epsilon }_0$ — электрическая постоянная.

Для электромагнитной волны $𝐣=0$, $\rho =0$, поэтому, если среда однородна, уравнения принимают форму

$\epsilon {\epsilon }_0\mathrm{div}𝐄=0$

$\mathrm{rot}𝐇=\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$.

Предполагая, что волна распространяется в направлении X, а колебания вектора $𝐄$ происходят в направлении Y, отсюда можно вывести волновое уравнение для составляющей $E_y$ и аналогичное уравнение для $H_z$: Шаблон:Начало скрытого блока

$\mathrm{rot}$ — ротор, дифференциальный оператор, $\mathrm{rot}𝐄=\mathrm{\nabla }\times 𝐄=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ E_x& E_y& E_z\end{array}\right|=(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y})𝐤$

$\mathrm{div}$ — дивергенция, дифференциальный, $\mathrm{div}𝐄=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$

$\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа, $\mathrm{\Delta }𝐄=\mathrm{\Delta }{E}_x𝐢+\mathrm{\Delta }{E}_y𝐣+\mathrm{\Delta }{E}_z𝐤$ , $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

Согласно свойству ротора векторного поля $\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐄=\mathrm{grad}(\mathrm{div}𝐄)-\mathrm{\Delta }E$. Подставив сюда $\mathrm{rot}𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ и $\mathrm{div}𝐄=0$ , получим:

$\mathrm{rot}(-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\mathrm{\Delta }𝐄$

Далее имеем цепочку равенств:

$\mathrm{\Delta }𝐄=\mathrm{rot}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{rot}𝐁=\mu {\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{rot}𝐇$

Подставляем сюда из уравнений Максвелла $\mathrm{rot}𝐇=\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$ , получаем:

$\mathrm{\Delta }𝐄=\mu {\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial 𝐃}{\partial t}\right)=\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2𝐃}{\partial t^2}=\mu {\mu }_0\epsilon {\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}$

Введя обозначение скорости распространения $v=1/\sqrt{\mu {\mu }_0ϵ{ϵ}_0}$, записываем:

$\mathrm{\Delta }{E}_x𝐢+\mathrm{\Delta }{E}_y𝐣+\mathrm{\Delta }{E}_z𝐤=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}(E_x𝐢+E_y𝐣+E_z𝐤)$

Вектор $𝐄$ колеблется в плоскости $XY$ перпендикулярно оси $X$, поэтому $E_x=E_z=0$.

$\mathrm{\Delta }{E}_y=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}$

$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}$

Волна распространяется вдоль оси $X$, поэтому $𝐄$ не зависит от координат $y$ и $z$:

$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}$.

Аналогичное рассматривается поведение напряжённости магнитного поля $𝐇$ Шаблон:Конец скрытого блока

$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}v=\frac{1}{\sqrt{\mu {\mu }_0ϵ{ϵ}_0}}$

$\frac{{\partial }^2{H}_z}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{H}_z}{\partial t^2}$.

Простейшим решением этих уравнений будут функции:

$E_y=E_m\cos (\omega t-kx)$

$H_z=H_m\cos (\omega t-kx)$,

где $k$ — волновое число. Найдём его, подставив решение в волновое уравнение:

$E_m{k}^2\cos (\omega t-kx)=\frac{1}{v^2}{E}_m{\omega }^2\cos (\omega t-kx)$

Отсюда получается, что $k=\omega /v$.

Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны может быть определено с использованием уравнений

$\mathrm{rot}𝐄=-\mu {\mu }_0\frac{\partial 𝐇}{\partial t}\mathrm{rot}𝐇=\epsilon {\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$.

Подставляя сюда выписанные выше решения для полей, приходим к двум соотношениям: Шаблон:Начало скрытого блока В самом общем виде уравнение для $\mathrm{rot}𝐄$ расписывается как

$(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y})𝐤=-\mu {\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(H_x𝐢+H_y𝐣+H_z𝐤)$,

а уравнение для $\mathrm{rot}𝐇$ — как

$(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y})𝐤=\epsilon {\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(E_x𝐢+E_y𝐣+E_z𝐤)$

Волна движется вдоль оси $X$, поэтому производные по $\partial x$ и $\partial z$ равны нулю.

$𝐄$ распространяется в плоскости $XY$ перпендикулярно $X$ поэтому $E_x=E_z=0$

$𝐇$ распространяется в плоскости $XZ$ перпендикулярно $X$ поэтому $H_x=H_y=0$ В связи с этим записть радикально упрощается, а именно получаются формулы

$\frac{\partial E_y}{\partial x}=-\mu {\mu }_0\frac{\partial H_z}{\partial t}\frac{\partial H_z}{\partial x}=-\epsilon {\epsilon }_0\frac{\partial E_y}{\partial t}$.

Подставив сюда решения

$E_y=E_m\cos (\omega t-kx)$

$H_z=H_m\cos (\omega t-kx)$,

получаем

$E_{m}k\sin (\omega t-kx)=\mu {\mu }_0{H}_m\omega \sin (\omega t-kx)$

$H_{m}k\sin (\omega t-kx)=\epsilon {\epsilon }_0{E}_m\omega \sin (\omega t-kx)$

что после сокращения синусов даёт выражения основного текста. Шаблон:Конец скрытого блока

$E_{m}k=\mu {\mu }_0{H}_m\omega$

$\epsilon {\epsilon }_0{E}_m\omega =H_{m}k$

Если умножить одно на другое, получится связь амплитуд:

$\epsilon {\epsilon }_0{E}_m^{2}k\omega =\mu {\mu }_0{H}_m^{2}k\omega$.

В случае вакуума ($c$ — скорость света в вакууме):

$\frac{E_m}{H_m}=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}=\sqrt{(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^7)}=120\pi \approx 377$ Ом.

См. также

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока
• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде
• Формула Кирхгофа
• Специальная теория относительности

Ссылки

• Шаблон:БСЭ3
• Шаблон:Книга
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984