Формула Кирхгофа

Фо́рмула Ки́рхгофа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\mathrm{△}u=f$, где функции $u=u(𝐱,t)$ и $f=f(𝐱,t)$ определены на $(𝐱,t)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^{+}$, а $\mathrm{△}$ — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в $n$-мерной однородной среде со скоростью $a$ в моменты времени $t>0$.

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени $t=0$:

$u{|}_{t=0}={\phi }_0(\overline{x}),{\frac{\partial u}{\partial t}|}_{t=0}={\phi }_1(\overline{x})$

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

$u(𝐱,t)=\frac{\partial }{\partial t}[\frac{1}{4\pi a^{2}t}\underset{S}{\iint }{\phi }_0(𝐲)d^2{S}_n]+\frac{1}{4\pi a^{2}t}\underset{S}{\iint }{\phi }_1(𝐲)d^2{S}_n+\frac{1}{4\pi a^2}\underset{|𝐱-𝐲|⩽at}{\iiint }\frac{f(𝐲,t-\frac{|𝐱-𝐲|}{a})}{|𝐱-𝐲|}{d}^3𝐲$

где поверхностные интегралы берутся по сфере $S:|𝐱-𝐲|=at$.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Файл:Wavefront.svg

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени $t=0$ на некотором компакте $M$ есть локальное возмущение (${\phi }_0\ne 0$ и/или ${\phi }_1\ne 0$). Если мы находимся в некоторой точке ${\overline{x}}_0\in {ℝ}^3$, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время $t_1=\frac{1}{a}\underset{\overline{y}\in M}{\inf }|\overline{y}-{\overline{x}}_0|$.

Вне отрезка времени $[t_1;t_2]$, где $t_2=\frac{1}{a}\underset{\overline{y}\in M}{\sup }|\overline{y}-{\overline{x}}_0|$, функция $u(x_0,t)$ равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в ${ℝ}^2$, уже не будет компактным в ${ℝ}^3$, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).Шаблон:Clear

Формула Пуассона — Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

$u_{tt}=a^2\mathrm{△}u+f$

(функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)$

задаётся формулой:

$u(\overline{x},t)=u(x_1,x_2,t)=\frac{1}{2\pi a}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{r<a(t-\tau )}{\iint }\frac{f(y_1,y_2,\tau )d{y}_{1}d{y}_{2}d\tau }{\sqrt{a^2(t-\tau {)}^2-(y_1-x_1{)}^2-(y_2-x_2{)}^2}}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\underset{r<at}{\iint }\frac{\phi (y_1,y_2)d{y}_{1}d{y}_2}{\sqrt{a^2{t}^2-(y_1-x_1{)}^2-(y_2-x_2{)}^2}}+\frac{1}{2\pi a}\underset{r<at}{\iint }\frac{\psi (y_1,y_2)d{y}_{1}d{y}_2}{\sqrt{a^2{t}^2-(y_1-x_1{)}^2-(y_2-x_2{)}^2}}$.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}+f$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)$

имеет вид

$u(x,t)=\frac{\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha +\frac{1}{2a}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{x-a(t-\tau )}{\overset{x+a(t-\tau )}{\int }}f(s,\tau )dsd\tau$

Файл:Waveequation.svg

В область $\mathrm{I}\mathrm{I}$ приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области ${ℝ}^1\times [0,T]$. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$, то есть оно определяется двумя семействами характеристик: $x+at=\xi ,x-at=\eta$. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии $x\ge 0$. Видно, что в область $\mathrm{I}$ приходят как $\xi$-характеристики, так и $\eta$-характеристики, в то время как в области $\mathrm{I}\mathrm{I}$ есть только $\xi$-характеристики. То есть, в области $\mathrm{I}\mathrm{I}$ формула Д’Аламбера не работает. Шаблон:Clear

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\mathrm{△}u+f(\overline{x},t)$ с начальными условиями $u(\overline{x},0)={\phi }_0(\overline{x}),u_t(\overline{x},0)={\phi }_1(\overline{x})$ и искать решение в виде суммы трех функций: $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$, которые удовлетворяют следующим условиям:

$\frac{{\partial }^{2}A}{\partial t^2}=a^2\mathrm{△}A+f(\overline{x},t),A(\overline{x},0)=0,A_t(\overline{x},0)=0;$

$\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t^2}=a^2\mathrm{△}B,B(\overline{x},0)={\phi }_0(\overline{x}),B_t(\overline{x},0)=0;$

$\frac{{\partial }^{2}C}{\partial t^2}=a^2\mathrm{△}C,C(\overline{x},0)=0,{𝐶}_t(\overline{x},0)={\phi }_1(\overline{x}).$

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть ${\phi }_1(x,y,z)=\frac{1}{1+(x+3y-2z{)}^2}$. Тогда после замены $\xi =x+3y-2z$ уравнение для задачи «С» примет вид:

$\frac{{\partial }^{2}C}{\partial t^2}=14a^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial {\xi }^2},𝐶(\xi ,0)=0,C_t(\xi ,0)=\frac{1}{1+{\xi }^2}.$

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

$C(\xi ,t)=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\underset{\xi -\sqrt{14}at}{\overset{\xi +\sqrt{14}at}{\int }}\frac{d\eta }{1+{\eta }^2}=\frac{1}{2\sqrt{14}a}(\mathrm{arctg}(\xi +\sqrt{14}at)-\mathrm{arctg}(\xi -\sqrt{14}at)).$

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области $t>0$.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Раздел о формуле Д’Аламбера