Уравнение Гельмгольца

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=f,$

где $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2$ — это оператор Лапласа, а неизвестная функция $U$ определена в ${ℝ}^n$ (на практике уравнение Гельмгольца применяется для $n=1,2,3$).

Вывод уравнения

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение

$\mathrm{△}u(x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=f(x,t)$,

где $x\in {ℝ}^n$ — многомерная пространственная переменная. Пусть функции $u$ и $f$ допускают разделение: $u(x,t)=U(x)T(t),f(x,t)=F(x)T(t)$, и пусть $T(t)=e^{i\omega t}$. Поскольку в пространстве фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель $i\omega$, наше уравнение приводится к виду

$\mathrm{△}U(x)+\frac{{\omega }^2}{c^2}U(x)=F(x)$,

где $\frac{{\omega }^2}{c^2}=k^2$ — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения Гельмгольца

Случай однородного уравнения

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса $a$ в полярных координатах ($r,\phi$) уравнение принимает вид

$U_{rr}+\frac{1}{r}{U}_r+\frac{1}{r^2}{U}_{\phi \phi }+k^{2}U=0,U(a,\phi )=0.$

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от $\phi$:

$U(r,\phi )=R(r)\mathrm{\Phi }(\phi )$,

$\frac{{\mathrm{\Phi }}^{″}}{\mathrm{\Phi }}=-{\lambda }^2$,

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению

$r^2{R}^{″}+r{R}^{\prime }+R(r^2{k}^2-{\lambda }^2)=0$.

Фундаментальными решениями уравнений для $\mathrm{\Phi }$ и для $R$ являются, соответственно, функции $\{\sin (\lambda \phi ),\cos (\lambda \phi )\}$ и $J_{\lambda }\left({\mu }_i^{(\lambda )}{a}^{-1}r\right),$ где ${\mu }_i^{(\lambda )}$ — $i$-й корень функции Бесселя $\lambda$-го порядка.

Случай неоднородного уравнения

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

$\mathrm{△}U+k^{2}U=\delta (x).$

Покажем, что в трёхмерном случае $(x=(x_1,x_2,x_3))$ фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

$U_1^{(3)}(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|},U_2^{(3)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.$

В самом деле, воспользуемся равенствами:

$\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{1}{|x|}=-\frac{x_j}{|x{|}^3}$

$\frac{\partial }{\partial x_j}{e}^{ik|x|}=\frac{ik{x}_j}{|x|}{e}^{ik|x|}$

$\mathrm{△}{e}^{ik|x|}=(\frac{2ik}{|x|}-k^2)e^{ik|x|}$

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

$\mathrm{△}\frac{1}{|x|}=-\frac{2{\pi }^{3/2}}{\mathrm{\Gamma }(3/2)}\delta (x).$

Получаем:

$(\mathrm{△}+k^2)\frac{1}{|x|}{e}^{ik|x|}=e^{ik|x|}\mathrm{△}\frac{1}{|x|}+2(\mathrm{grad}{e}^{ik|x|},\mathrm{grad}\frac{1}{|x|})+\frac{1}{|x|}\mathrm{△}{e}^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}{e}^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+(-\frac{2ik}{|x{|}^2}+\frac{2ik}{|x{|}^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|})e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$ Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

$U_1^{(2)}=-\frac{i}{4}{H}_0^{(1)}(k|x|),U_2^{(2)}=\frac{i}{4}{H}_0^{(2)}(k|x|),$

а в одномерном:

$U_1^{(1)}(x)=\frac{e^{ik|x|}}{2ik},U_2^{(1)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{2ik}.$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья