Функции Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=0,$

где $\alpha$ — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

График функций Бесселя первого рода

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя $\alpha$ и $(-\alpha )$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J_{\alpha }(x)$, являются решения, конечные в точке $x=0$ при целых или неотрицательных $\alpha$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\alpha$):

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }.$

Здесь $\mathrm{\Gamma }(z)$ — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально $\frac{1}{\sqrt{x}}$, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к $\pi$ при $x\to \mathrm{\infty }$).

Ниже приведены графики $J_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$:

График функции Бесселя первого рода J

Если $\alpha$ не является целым числом, функции $J_{\alpha }(x)$ и $J_{-\alpha }(x)$ линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если $\alpha$ целое, то верно следующее соотношение:

$J_{-\alpha }(x)=(-1{)}^{\alpha }{J}_{\alpha }(x).$

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений $\alpha$, используя интегральное представление:

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau .$

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau .$

Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых $\alpha$ необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является $2\pi$-периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от $-\mathrm{\infty }$ до $1$, где $\phi =-\pi$, окружность единичного радиуса и луч от $1$ до $+\mathrm{\infty }$ при $\phi =\pi$. Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{i(x\sin (\phi )-\alpha \phi )}d\phi -\frac{\sin (\alpha \pi )}{\pi }\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-\frac{1}{2}x(r-\frac{1}{r})}}{r^{\alpha +1}}dr.$

Нетрудно убедиться, что при целых $\alpha$ это выражение переходит в предыдущую формулу.

Функции Неймана

Функции Неймана — решения $Y_{\alpha }(x)$ уравнения Бесселя, бесконечные в точке $x=0$.

Эта функция связана с $J_{\alpha }(x)$ следующим соотношением:

$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )},$

где в случае целого $\alpha$ берётся предел по $\alpha$, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x)=C_1{J}_{\alpha }(x)+C_2{Y}_{\alpha }(x).$

Ниже приведён график $Y_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$:

График функции Бесселя второго рода N

В ряде книг функции Неймана обозначаются $N_{\alpha }(x)$.

Сферические функции Бесселя

Сферические функции Бесселя первого рода, Шаблон:Math, для Шаблон:Math

Сферические функции Бесселя второго рода, Шаблон:Math, для Шаблон:Math

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных уравнение на радиальную часть имеет вид

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2x\frac{dy}{dx}+(x^2-n(n+1))y=0.$

Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, и связаны с обычными функциями Бесселя Шаблон:Mvar и Неймана Шаблон:Mvar с помощью

$\begin{array}{cc}{j}_n(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{n+\frac{1}{2}}(x),\\ y_n(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{Y}_{n+\frac{1}{2}}(x)=(-1{)}^{n+1}\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{-n-\frac{1}{2}}(x).\end{array}$

Шаблон:Mvar также обозначается Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.

Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)

$\begin{array}{cc}{j}_n(x)& =(-x{)}^n{\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^n\frac{\sin x}{x},\\ y_n(x)& =-(-x{)}^n{\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^n\frac{\cos x}{x}.\end{array}$

Несколько первых сферических функций Бесселя:

$\begin{array}{cc}{j}_0(x)& =\frac{\sin x}{x},\\ j_1(x)& =\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x},\\ j_2(x)& =(\frac{3}{x^2}-1)\frac{\sin x}{x}-\frac{3\cos x}{x^2},\\ j_3(x)& =(\frac{15}{x^3}-\frac{6}{x})\frac{\sin x}{x}-(\frac{15}{x^2}-1)\frac{\cos x}{x}\end{array}$

и Неймана:

$\begin{array}{cc}{y}_0(x)& =-j_{-1}(x)=-\frac{\cos x}{x},\\ y_1(x)& =j_{-2}(x)=-\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x},\\ y_2(x)& =-j_{-3}(x)=(-\frac{3}{x^2}+1)\frac{\cos x}{x}-\frac{3\sin x}{x^2},\\ y_3(x)& =j_{-4}(x)=(-\frac{15}{x^3}+\frac{6}{x})\frac{\cos x}{x}-(\frac{15}{x^2}-1)\frac{\sin x}{x}.\end{array}$

Производящие функции

Производящие функции сферических функций Бесселя:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{z}\cos \left(\sqrt{z^2-2zt}\right)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{j}_{n-1}(z),\\ \frac{1}{z}\sin \left(\sqrt{z^2-2zt}\right)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{y}_{n-1}(z).\end{array}$

Дифференциальные соотношения

В следующих формулах Шаблон:Mvar может быть заменено на Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Math, Шаблон:Math, где Шаблон:Math и Шаблон:Math — сферические функции Ханкеля, для Шаблон:Math:

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)}^m(z^{n+1}{f}_n(z))& =z^{n-m+1}{f}_{n-m}(z),\\ {\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)}^m(z^{-n}{f}_n(z))& =(-1{)}^m{z}^{-n-m}{f}_{n+m}(z).\end{array}$

Свойства

Ортогональность

Пусть ${\mu }_1,{\mu }_2$ — нули функции Бесселя $J_{\alpha }(x)$. Тогда:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{J}_{\alpha }({\mu }_{1}x)J_{\alpha }({\mu }_{2}x)dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{;}{\mu }_1\ne {\mu }_2\\ \\ \frac{1}{2}(J{\text{'}}_{\alpha }({\mu }_1){)}^2& \text{;}{\mu }_1={\mu }_2\end{array}$.

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах $(0<x\ll \sqrt{\alpha +1})$ и неотрицательных $\alpha$ они выглядят так:

$J_{\alpha }(x)\to \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha },$

$Y_{\alpha }(x)\to \{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }[\ln (x/2)+\gamma ]& \text{;}\alpha =0\\ \\ -\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\pi }{\left(\frac{2}{x}\right)}^{\alpha }& \text{;}\alpha >0\end{array}$,

где $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ($x\gg |{\alpha }^2-1/4|$) формулы выглядят так:

$J_{\alpha }(x)\to \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x-\frac{\alpha \pi }{2}-\frac{\pi }{4}),$

$Y_{\alpha }(x)\to \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin (x-\frac{\alpha \pi }{2}-\frac{\pi }{4}).$

Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:

$J_0\to \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x-\frac{\pi }{4})+\frac{1}{4x\sqrt{2\pi x}}\sin (x-\frac{\pi }{4}).$

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

$J_{\alpha }(z)=\frac{(z/2{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{}_0{F}_1(\alpha +1;-z^2/4).$

Таким образом, при целых $\alpha$ функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

$e^{\frac{z}{2}(w-\frac{1}{w})}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{J}_n(z)w^n.$

Соотношения

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней

Получается из выражения для производящей функции при $a=1$, $w=e^{i\varphi }$Шаблон:Sfn:

$e^{iz\sin \varphi }=J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2n}(z)\cos (2n\varphi )+2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2n-1}(z)\sin (2n-1)\varphi .$

При $a=1$, $t=i{e}^{i\varphi }$Шаблон:Sfn:

$e^{iz\cos \varphi }=J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{J}_n(z)\cos (n\varphi ).$

Рекуррентные соотношения

Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:

$J_{\alpha +1}=\frac{\alpha }{x}{J}_{\alpha }-J{\text{'}}_{\alpha }(x);$

$J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)=\frac{2\alpha }{x}{J}_{\alpha }(x);$

$J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J{\text{'}}_{\alpha }(x)$.

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных $z_1$, $z_2$ выполняетсяШаблон:Sfn

$J_n(z_1+z_2)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k(z_1)J_{n-k}(z_2).$

Интегральные выражения

Для любых $a$ и $b$ (в том числе комплексных) выполняетсяШаблон:Sfn

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-at}{J}_n(bt)\mathrm{d}t=\frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a{)}^n}.$

Частным случаем последней формулы является выражение

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-at}{J}_0(bt)\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

См. также

• Цилиндрические функции
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя
• Функции Ганкеля
• Луч Бесселя

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга