Модифицированные функции Бесселя

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

$z^2\frac{d^2\omega }{d{z}^2}+z\frac{d\omega }{dz}+(z^2-{\nu }^2)\omega =0$

заменить $z$ на $iz$, оно примет вид

$z^2\frac{d^2\omega }{d{z}^2}+z\frac{d\omega }{dz}-(z^2+{\nu }^2)\omega =0.(1)$

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .

Если $\nu$ не является целым числом, то функции Бесселя $J_{\nu }(iz)$ и $J_{-\nu }(iz)$ являются двумя линейно независимыми решениями уравнения $(1)$. Однако чаще используют функции

$I_{\nu }(z)=e^{-\frac{i\nu \pi }{2}}{J}_{\nu }\left(z{e}^{\frac{i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k+\nu }}{k!\mathrm{\Gamma }(k+\nu +1)}$ и $I_{-\nu }(z).$

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если $\nu$ — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.

$\nu$ называется порядком функции.

Функция

$K_{\nu }(z)=\frac{\pi }{2\sin \nu \pi }[I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)]$

также является решением уравнения $(1)$. Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что

$K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)$

и принимает вещественные значения, если $\nu$ — вещественное число, а $z$ положительно.

График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками

График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками

Функции целого порядка

Так как $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ при целом $\nu$ в качестве фундаментальной системы решений уравнения $(1)$ выбирают $I_n(z)$ и $K_n(z),$ где

$K_n(z)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\nu \to n}{K}_{\nu }(z).$

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Модифицированные функции Бесселя первого рода

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{\nu }{I}_{\nu }(z)]=z^{\nu -m}{I}_{\nu -m}(z).$

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{-\nu }{I}_{\nu }(z)]=z^{-\nu -m}{I}_{\nu +m}(z).$

$I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}{I}_{\nu }(z).$

$I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I{\text{'}}_{\nu }(z).$

Модифицированные функции Бесселя второго рода

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{\nu }{K}_{\nu }(z)]=(-1{)}^m{z}^{\nu -m}{K}_{\nu -m}(z).$

${\left(\frac{d}{zdz}\right)}^m[z^{-\nu }{K}_{\nu }(z)]=(-1{)}^m{z}^{-\nu -m}{K}_{\nu +m}(z).$

$K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}{K}_{\nu }(z).$

$K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K{\text{'}}_{\nu }(z).$

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя

$W[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)]=-\frac{2\sin (\nu \pi )}{\pi z}.$

$W[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)]=-z^{-1}.$

Интегральные представления

Модифицированные функции Бесселя первого рода

$I_{\nu }(z)=\frac{2^{-\nu }{z}^{\nu }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\cos t}{(\sin t)}^{2\nu }dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2},\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция.

$I_{\nu }(z)=\frac{2^{1-\nu }{z}^{\nu }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t^2{)}^{\nu -\frac{1}{2}}\cosh (zt)dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2}.$

$I_{\nu }(z)=\frac{2^{-\nu }{z}^{\nu }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-t^2{)}^{\nu -\frac{1}{2}}{e}^{-zt}dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2}.$

$I_n(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\cos t}\cos (nt)dt,n\in \mathbb{Z},Re(z)>0.$

Модифицированные функции Бесселя второго рода

$K_{\nu }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z\cosh t}\cosh (\nu t)dt,|Arg(z)|<\frac{\pi }{2}.$

$K_{\nu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(t^2-1)}^{\nu -\frac{1}{2}}{e}^{-zt}dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2},|Arg(z)|<\frac{\pi }{2}.$

$K_{\nu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z\cosh t}{(\sinh t)}^{2\nu }dt,Re(\nu )>-\frac{1}{2},|Arg(z)|<\frac{\pi }{2}.$

Асимптотическое поведение

$I_{\nu }(z)\propto \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}}(1+O\left(\frac{1}{z}\right)),|Arg(z)|<\frac{\pi }{2},\left|z\right|\to \mathrm{\infty }.$

$K_{\nu }(z)\propto \sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}(1+O\left(\frac{1}{z}\right)),\left|z\right|\to \mathrm{\infty }.$

Частный и общий случаи:

$K_0(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{e}^{-z}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{[\left(2m-1\right)!!]}^2}{m!{(-8z)}^m},\left|z\right|\to \mathrm{\infty },|\arg z|<\pi /2$

$K_{\nu }(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{e}^{-z}(1+\frac{\left(4{\nu }^2-1^2\right)}{1!{\left(8z\right)}^1}+\frac{\left(4{\nu }^2-1^2\right)\left(4{\nu }^2-3^2\right)}{2!{\left(8z\right)}^2}+\dots ),\left|z\right|\to \mathrm{\infty },|\arg z|<\pi /2$

Замечание

• Существует классический ряд Шлёмильха по j-функциям Бесселя

См. также

• Цилиндрические функции

Литература

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld