Гипергеометрическая функция

Гипергеометри́ческая фу́нкция (функция Гаусса) — одна из специальных функций. Определяется внутри круга $|z|<1$ как сумма гипергеометрического ряда

$F(a,b;c;z)=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\prod _{l=0}^{k-1}\frac{(a+l)(b+l)}{(1+l)(c+l)}\right]z^k=1+\frac{ab}{c}\frac{z}{1!}+\frac{a(a+1)\cdot b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!}+\frac{a(a+1)(a+2)\cdot b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)}\frac{z^3}{3!}+\dots ,$

а при $|z|>1$ — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка $z(1-z)\frac{d^{2}u}{d{z}^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{du}{dz}-abu=0,$ называемого гипергеометрическим уравнением. Гипергеометрический ряд может рассматриваться как обобщение геометрического ряда (отсюда название); частный случай гипергеометрической функции $F(1,b;b;z)=1+z+z^2+z^3+\dots$ является суммой геометрического ряда.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет видШаблон:Sfn

$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}.$

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно ГауссомШаблон:Sfn. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера $z(1-z)\frac{d^{2}u}{d{z}^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{du}{dz}-abu=0,$ где параметры Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и $\mathrm{\infty }$.

Когда параметр $c$ не равен нулю и отрицательным целым числам $(c\ne 0,-1,-2,\dots ),$ регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+\frac{ab}{c}\frac{z}{1!}+\frac{a(a+1)\cdot b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!}+\frac{a(a+1)(a+2)\cdot b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)}\frac{z^3}{3!}+\dots .$

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

$(p{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+n)}{\mathrm{\Gamma }(p)}=p(p+1)\cdots (p+n-1),$

где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция (при Шаблон:Math по определению Шаблон:Math). Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

$F(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n(b{)}_n{z}^n}{(c{)}_{n}n!}.$

Обозначение ${}_2{F}_1(a,b;c;z)$ указывают, что есть два параметра, Шаблон:Math и Шаблон:Math, «идущие в числитель», и один, Шаблон:Math, «идущий в знаменатель». На границе $|z|=1$ ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы $a+b-c<0$, условно сходится при $z\ne 1$, $0\le a+b-c<1$ и расходится, если $a+b-c\ge 1$. Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

$z^{1-c}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)$

Оно имеет особую точку при $z=0$ и справедливо при всех неположительных $c$ $(c=0,-1,-2,\dots )$.Шаблон:Sfn

Интегральное представление для гипергеометрической функции при $\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0$ (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

$F(a,b;c;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c-b)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{b-1}(1-t{)}^{c-b-1}(1-tz{)}^{-a}dt,$

где $\mathrm{\Gamma }(x)$ — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной $z$-плоскости с разрезом вдоль действительной оси от $1$ до $\mathrm{\infty }$ и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при $\left|z\right|<1$.

Частные значения при Шаблон:Math

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

${}_2{F}_1(a,b;\frac{1}{2}(1+a+b);\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+a+b))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+a))\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+b))}.$

Теорема Бейли выражается формулой:

${}_2{F}_1(a,1-a;c;\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}c)\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+c))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(c+a))\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+c-a))}.$

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что из неё могут быть получены многие специальные и элементарные функции при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

• ${(1+x)}^n=F(-n,b;b;-x)$
• $x^n=F(-n,b;b;1-x)$
• $\frac{1}{x}\ln (1+x)=F(1,1;2;-x)$

$\frac{1}{x}\arcsin (x)=F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};x^2)$

• $e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}F(1,n;1;\frac{x}{n})$
• $\cos x=\underset{a,b\to \mathrm{\infty }}{lim}F(a,b;\frac{1}{2};-\frac{x^2}{4ab})$
• $\mathrm{ch}x=\underset{a,b\to \mathrm{\infty }}{lim}F(a,b;\frac{1}{2};\frac{x^2}{4ab})$
• Полный эллиптический интеграл первого рода:

  $K(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=\frac{\pi }{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$

• Полный эллиптический интеграл второго рода:

  $E(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }d\phi =\frac{\pi }{2}F(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$

• Полином Лежандра:

  $P_n(x)=F(n+1,-n;1;\frac{1-x}{2})$

• Присоединённая функция Лежандра:

  $P_{n,m}(x)=(1-x^2{)}^{\frac{m}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}{2^m\mathrm{\Gamma }(n-m+1)\mathrm{\Gamma }(m+1)}F(n+m+1,m-n;m+1;\frac{1-x}{2})$

• Функции Бесселя:

  $J_{\nu }(x)=\underset{a,b\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\frac{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}F(a,b;\nu +1;-\frac{x^2}{4ab})\right]$

• Функция Куммера (Похгаммера), или Шаблон:Нп3

  $M(a,c,z)={}_1{F}_1(a,c,z)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}F(a,b;c;z/b)$

  является решением вырожденного гипергеометрического уравнения

  $z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(c-z)\frac{dw}{dz}-aw=0.$

• Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:

  $L_n^{\lambda }(x)={}_1{F}_1(-n,\lambda ,x).$

Тождества

• $27(z-1{)}^2\cdot {}_2{F}_1{(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z)}^8+18(z-1)\cdot {}_2{F}_1{(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z)}^4-8\cdot {}_2{F}_1{(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z)}^2=1$
• И замечательный частный случай предыдущего выражения:

  ${}_2{F}_1(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};\frac{1}{3})=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{\frac{4}{\sqrt{2-\sqrt[3]{4}}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]{4}}-2}}$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика — математические дополнения
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга