Многочлены Лагерра

Шаблон:Ортогональные многочлены 2 В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0,$

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-x}dx.$

Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как $L_0,L_1,\dots$, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right)=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k.$

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

$⟨f,g⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)e^{-x}dx.$

Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.

Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Несколько первых многочленов

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:

$n$	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

Первые 6 многочленов Лагерра.

Рекуррентная формула

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

$L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}[(2k+1-x)L_k(x)-k{L}_{k-1}(x)],\mathrm{\forall }k⩾1,$

предопределив первые два полинома как:

$L_0(x)=1,$

$L_1(x)=1-x.$

Обобщённые полиномы Лагерра

Обобщённые полиномы Лагерра $L_n^a(x)$ являются решениями уравнения:

$x{y}^{″}+(a+1-x)y^{\prime }+ny=0,$

так что $L_n(x)=L_n^0(x)$.