Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

Шаблон:Дзт В численном анализе квадратурная формула Га́усса — Лаге́рра, или метод Гаусса — Лагерра, — это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса — Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}f(x)dx$

рядом по $n$ точкам:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i),$

где $x_i$ — это $i$-й корень полинома Лагерра $L_n(x)$, а коэффициенты $w_i$:

$w_i=\frac{x_i}{(n+1{)}^2{L}_{n+1}^2(x_i)}.$

Для функции произвольного вида

Для интеграла произвольной функции можно записать:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^x{e}^{-x}dx=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)e^{-x}dx,$

где $g(x)=f(x)e^x$.

Далее можно применить квадратурную формулу Гаусса — Лагерра к новой функции $g(x)$.

См. также

• Численное интегрирование