Эллиптический интеграл

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $f$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R(t,P(t))dt$,

где $R$ — рациональная функция двух аргументов, $P$ — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней, $c$ — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда $P$ имеет кратные корни или когда многочлены в $R(x,y)$ не содержат нечётных степеней $y$.

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

История

В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно, а позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

• $\alpha$ — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой $o\epsilon$);
• $k=\sin \alpha$ — модуль эллиптического интеграла;
• $m=k^2={\sin }^2\alpha$ — параметр.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля $k$ (и модулярного угла $\alpha$). Их область определения $-1\le k\le +1.$

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

• $x=\sin \phi =\mathrm{sn}u,$ где $\mathrm{sn}$ — эллиптическая функция Якоби;
• $\phi =\arcsin x=\mathrm{am}u$ — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что $u$ зависит также и от $m$. Несколько дополнительных уравнений связывают $u$ с другими параметрами:

$\cos \phi =\mathrm{cn}u$

и

$\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }=\mathrm{dn}u.$

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

$\mathrm{\Delta }(\phi )=\mathrm{dn}u.$

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

• $m_1=1-m$ — дополнительный параметр;
• $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$ — дополнительный модуль;
• ${k^{\prime }}^2=m_1$ — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода $F$ определяется как

$F(\phi ,k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$,

или, в форме Якоби,

$F(x,k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2{z}^2)}}$.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

$F(\phi ,\sin \alpha )=F(\phi \mid {\sin }^2\alpha )=F(\phi \setminus \alpha )$.

Частные случаи

$F(\phi \setminus 0)=\phi$;

$F(i\phi \setminus 0)=i\phi$;

$F(\phi \setminus 90^{\circ })=\ln (\sec \phi +\mathrm{tg}\phi )=\ln \mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\phi }{2})$;

$F(i\phi \setminus 90^{\circ })=i\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}\phi )$;

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода Шаблон:Math определяется как

$E(\phi ,k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta$

или, используя подстановку $x=\sin \phi ,$

$E(x,k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{z}^2}}{\sqrt{1-z^2}}dz.$

Частные случаи

$E(\phi ,0)=\phi$;

$E(i\phi ,0)=i\phi$;

$E(\phi ,1)=\sin \phi$;

$E(i\phi ,1)=i\mathrm{sh}\phi$.

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода $\mathrm{\Pi }$ определяется как

$\mathrm{\Pi }(c;\phi ,k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{(1+c{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$

или

$\mathrm{\Pi }(c;x,k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{(1+c{x}^2)\sqrt{(1-k^2{x}^2)(1-x^2)}}$

Число $c$ называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла $\mathrm{\Pi }(-1;\pi /2\mid m)$ стремится к бесконечности для любых $m$.

Гиперболический случай

(0 < c < m)

Введём дополнительные обозначения:

$\epsilon =\arcsin \sqrt{\frac{n}{{\sin }^2\alpha }},0⩽\epsilon ⩽\frac{\pi }{2}$;

$\beta =\frac{\pi F(\epsilon \setminus \alpha )}{2K(\alpha )}$;

$q=q(\alpha )$;

$\nu =\frac{\pi F(\phi \setminus \alpha )}{2K(\alpha )}$;

${\delta }_1=\sqrt{\frac{c}{(1-c)({\sin }^2\alpha -c)}}$;

$K(\alpha )$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

Тогда можно записать интеграл через тета-функции Якоби:

$\mathrm{\Pi }(c;\phi \setminus \alpha )={\delta }_1(-\frac{1}{2}\ln \frac{{\vartheta }_4(\nu +\beta )}{{\vartheta }_4(\nu -\beta )}+\nu \frac{{{\vartheta }_1}^{\prime }(\beta )}{{\vartheta }_1(\beta )}),$

где

$\frac{1}{2}\ln \frac{{\vartheta }_4(\nu +\beta )}{{\vartheta }_4(\nu -\beta )}=2\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin 2s\nu \sin 2s\beta$

и

$\frac{{{\vartheta }_1}^{\prime }(\beta )}{{\vartheta }_1(\beta )}=\mathrm{ctg}\beta +4\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos 2\beta +q^{4s}}\sin 2\beta .$

(c > 1)

С помощью подстановки $C=\frac{{\sin }^2\alpha }{c}$ этот случай сводится к предыдущему, так как $0<C<{\sin }^2\alpha .$

Введём дополнительно величину

$p_1=\sqrt{(c-1)(1-\frac{{\sin }^2\alpha }{c})}.$

Тогда:

$\mathrm{\Pi }(c;\phi \setminus \alpha )=-\mathrm{\Pi }(C;\phi \setminus \alpha )+F(\phi \setminus \alpha )+\frac{1}{2p_1}\ln \left(\frac{\mathrm{\Delta }(\phi )+p_1\mathrm{tg}\phi }{\mathrm{\Delta }(\phi )-p_1\mathrm{tg}\phi }\right).$

Круговой случай

(m < c < 1)

Введем дополнительные обозначения:

$\epsilon =\arcsin \sqrt{\frac{1-n}{{\cos }^2\alpha }},0⩽\epsilon ⩽\frac{\pi }{2};$

$\beta =\frac{\pi F(\epsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2K(\alpha )};$

$q=q(\alpha );$

$\nu =\frac{\pi F(\phi \setminus \alpha )}{2K(\alpha )};$

${\delta }_2=\sqrt{\frac{c}{(1-c)(c-{\sin }^2\alpha )}}.$

Тогда эллиптический интеграл равен:

$\mathrm{\Pi }(c;\phi \setminus \alpha )={\delta }_2(\lambda -4\mu \nu ),$

где

$\lambda =\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\beta \mathrm{tg}\nu )+2\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin 2s\nu \mathrm{sh}2s\beta$

и

$\mu =\frac{\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}s{q}^{s^2}\mathrm{sh}2s\beta }{1+\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{s^2}\mathrm{ch}2s\beta }$

(c < 0)

С помощью подстановки $C=\frac{{\sin }^2\alpha -c}{1-c}$ этот случай сводится к предыдущему, так как ${\sin }^2\alpha <C<1.$

Введем дополнительно величину

$p_2=\sqrt{\frac{-c({\sin }^2\alpha -c)}{1-c}}.$

Тогда:

$\sqrt{(1-c)(1-\frac{{\sin }^2\alpha }{c})}\mathrm{\Pi }(c;\phi \setminus \alpha )=\sqrt{(1-C)(1-\frac{{\sin }^2\alpha }{C})}\mathrm{\Pi }(C;\phi \setminus \alpha )+\frac{{\sin }^2\alpha F(\phi \setminus \alpha )}{p_2}+\mathrm{arctg}\left(\frac{p_2}{2}\frac{\sin 2\phi }{\mathrm{\Delta }(\phi )}\right)$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда $\phi$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна $\pi /2$, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

$K(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=F(\pi /2,k)$

или

$K(k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}.$

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

$K(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}n{!}^2}\right)}^2{k}^{2n},$

что эквивалентно выражению

$K(k)=\frac{\pi }{2}(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{k}^2+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{k}^4+\dots +{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)}^2{k}^{2n}+\dots ),$

где $n!!$ обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

$K(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2).$

Частные случаи

$K(0)=\frac{\pi }{2}.$

$K(1)=\mathrm{\infty }.$

$K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{4\sqrt{\pi }}.$

$K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{2^{-\frac{7}{3}}{3}^{\frac{1}{4}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}{\pi }.$

$K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{2^{-\frac{7}{3}}{3}^{\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}{\pi }.$

$\mathrm{sn}K=\sin \frac{\pi }{2}=1.$

$\mathrm{cn}K=\cos \frac{\pi }{2}=0.$

$\mathrm{dn}K=\sqrt{1-k^2}=k^{\prime }.$

Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода

$\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k},$

где $E(k)$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.

Дифференциальное уравнение

Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения

$\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{dK(k)}{dk}\right)=kK(k).$

Вторым решением этого уравнения является $K\left(\sqrt{1-k^2}\right).$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда $\phi$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна $\pi /2$, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

$E(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }d\phi =E(\pi /2,k)$

или

$E(k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{x}^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx.$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

$E(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}n{!}^2}\right)}^2\frac{k^{2n}}{1-2n},$

что эквивалентно выражению

$E(k)=\frac{\pi }{2}(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\frac{k^2}{1}-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{k^4}{3}-\dots -{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)}^2\frac{k^{2n}}{2n-1}-\dots ).$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

$E(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2).$

Частные случаи

$E\left(0\right)=\frac{\pi }{2}.$

$E\left(1\right)=1.$

$E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)={\pi }^{\frac{3}{2}}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}+\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{8\sqrt{\pi }}.$

$E\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=2^{\frac{1}{3}}{3}^{-\frac{3}{4}}{\pi }^2\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}+2^{-\frac{10}{3}}{3}^{-\frac{1}{4}}\frac{\sqrt{3}+1}{\pi }\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^3.$

$E\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=2^{\frac{1}{3}}{3}^{-\frac{1}{4}}{\pi }^2\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}+2^{-\frac{10}{3}}{3}^{\frac{1}{4}}\frac{\sqrt{3}-1}{\pi }\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^3.$

Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода

$\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)-K(k)}{k}.$

Дифференциальное уравнение

Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения

$(k^2-1)\frac{d}{dk}\left(k\frac{dE(k)}{dk}\right)=kE(k).$

Вторым решением этого уравнения является функция $E\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K\left(\sqrt{1-k^2}\right).$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

$\mathrm{\Pi }(c,k)=\mathrm{\Pi }(c;\pi /2,k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{(1+c{\sin }^2\phi )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$

или

$\mathrm{\Pi }(c,k)=\mathrm{\Pi }(c;1,k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{(1+c{x}^2)\sqrt{(1-k^2{x}^2)(1-x^2)}}.$

Гиперболический случай

(0 < c < m)

$\mathrm{\Pi }(c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\delta }_{1}K(\alpha )\mathrm{Z}(\epsilon \setminus \alpha )$,

где $\mathrm{Z}(\epsilon \setminus \alpha )$ — дзета-функция Якоби.

(c > 1)

$\mathrm{\Pi }(c\setminus \alpha )=K(\alpha )-\mathrm{\Pi }(C\setminus \alpha ).$

Круговой случай

(m < c < 1)

$\mathrm{\Pi }(c\setminus \alpha )=K(\alpha )+\frac{1}{2}\pi {\delta }_2(1-{\mathrm{\Lambda }}_0(\epsilon \setminus \alpha )),$

где ${\mathrm{\Lambda }}_0(\epsilon \setminus \alpha )$ — лямбда-функция Хеймана.

(c < 0)

$\mathrm{\Pi }(c\setminus \alpha )=-\frac{c{\cos }^2\alpha \mathrm{\Pi }(C\setminus \alpha )}{(1-c)({\sin }^2\alpha -n)}+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha -c}K(\alpha ).$

Частные производные

$\begin{array}{cc}\frac{\partial \mathrm{\Pi }(c,k)}{\partial c}& =\frac{1}{2(k^2-c)(c-1)}(E(k)+\frac{1}{c}(k^2-c)K(k)+\frac{1}{c}(c^2-k^2)\mathrm{\Pi }(c,k)).\\ [10px]\frac{\partial \mathrm{\Pi }(c,k)}{\partial k}& =\frac{k}{c-k^2}(\frac{E(k)}{k^2-1}+\mathrm{\Pi }(c,k)).\end{array}$

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

$Z(\phi \setminus \alpha )=E(\phi \setminus \alpha )-\frac{E(\alpha )F(\phi \setminus \alpha )}{K(\alpha )};$

Лямбда-функция Хеймана

${\mathrm{\Lambda }}_0(\phi \setminus \alpha )=\frac{F(\phi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K^{\prime }(\alpha )}+\frac{2}{\pi }K(\alpha )Z(\phi \setminus 90^{\circ }-\alpha )$

или

${\mathrm{\Lambda }}_0(\phi \setminus \alpha )=\frac{2}{\pi }(K(\alpha )E(\phi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-(K(\alpha )-E(\alpha ))F(\phi \setminus 90^{\circ }-\alpha )).$

См. также

• Эллиптические функции
• Эллиптическая кривая
• Специальные функции
• Аппроксимации эллиптических интегралов

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Ссылки

• Шаблон:АбрамовицСтиган
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
• Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7).
• Эллиптические функцииШаблон:Недоступная ссылка, Процедуры для Matlab.