Квадратный корень

Шаблон:Фоторяд Квадра́тный ко́рень из числа $a$ (корень 2-й степени) — число $x$ , дающее $a$ при возведении в квадрат Шаблон:Sfn: $x \cdot x = a .$ Равносильное определение: квадратный корень из числа $a$ — решение уравнения $x^{2} = a .$ Операция вычисления значения (возможно, множества значений) квадратного корня из числа $a$ называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Наиболее часто под $x$ и $a$ подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения Шаблон:Переход для комплексных чисел и других математических объектов, например, матриц и операторов.

У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются $+ 3$ и $- 3,$ у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при $a ⩾ 0$ всегда неотрицательно, а на положительных Шаблон:Nobr положительно; арифметический корень из числа $a$ обозначаетсяШаблон:Sfn Шаблон:Sfn с помощью знака корня (радикала): $\sqrt{a}$ .

Пример для вещественных чисел: $\sqrt{16} = 4$ , потому что $4^{2} = 16$ .

Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус^[1]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ :

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

История

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков. Среди таких задачШаблон:Sfn:

Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
Решение квадратных уравнений.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с пометками. Диагональ отображает приближение $\sqrt{2}$ четырьмя 60-ричными цифрами, 1 24 51 10

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 из вавилонской коллекции Йельского университета была создана между 1800 и 1600 годами Шаблон:Донэ и демонстрирует √2 и √2/2 соответственно в шестидесятиричной системе счисления: 1;24,51,10 и 0;42,25,35 на квадрате, пересечённом двумя диагоналями^[2]. (1;24,51,10) по основанию 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков: $1 + 24 / 60 + 51 / 6 0^{2} + 10 / 6 0^{3} = 1, 41421296 .$ Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный методШаблон:Sfn, изложенный нижеШаблон:Переход. Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах»Шаблон:Sfn.

Древние греки сделали важное открытие: $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально^[3].

Средневековые европейские математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень^[4] символом R_x, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году^[5]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт («Геометрии», 1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чиселШаблон:Sfn. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чиселШаблон:Sfn.

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру Шаблон:Sfn. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корней^[6].

Квадратные корни из чисел

Рациональные числа

При рациональных $a$ уравнение $x^{2} = a$ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном $a$ , разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа $a$ , представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь для корня из рационального числа всегда является периодической (возможно, с предпериодом), что позволяет, с одной стороны, легко вычислять хорошие рациональные приближения к рациональным числам с помощью линейных рекурсий, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $| \sqrt{r} - p / q | > \frac{1}{C q^{2}}$ , где $C$ зависит от $r$ ^[7]Шаблон:Sfn. Верно и то, что любая периодическая непрерывная дробь является квадратичной иррациональностью.

Примеры разложения корней из натуральных чисел от 2 до 10 в непрерывные дроби:

$\sqrt{2}$	= [1; 2, 2, ...]
$\sqrt{3}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
$\sqrt{4}$	= [2]
$\sqrt{5}$	= [2; 4, 4, ...]
$\sqrt{6}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
$\sqrt{7}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
$\sqrt{8}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
$\sqrt{9}$	= [3]
$\sqrt{10}$	= [3; 6, 6, ...]

Действительные (вещественные) числа

Для любого положительного числа $a$ существуют ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знакуШаблон:Sfn.

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа $a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала^[8]: $\sqrt{a}$ .

Основные свойства вещественного квадратного корня (все подкоренные выражения считаются неотрицательными):

$\sqrt{a^{2}} = | a | :$
ab=a⋅b (корень из произведения равен произведению корней из сомножителей);
- (обобщение) $\sqrt{| a b |} = \sqrt{| a |} \cdot \sqrt{| b |}$
ab=ab(b≠0);
- (обобщение) $\sqrt{| \frac{a}{b} |} = \frac{\sqrt{| a |}}{\sqrt{| b |}} (b \neq 0);$

К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).

Комплексные числа

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:

- 1 = (\sqrt{- 1})^{2} = \sqrt{(- 1)^{2}} = \sqrt{1} = 1

(что, конечно, неверно)

Ошибка возникла из-за того, что комплексный квадратный корень является двузначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

a = | a | e^{i ϕ}

,

то (см. Формула Муавра)

\sqrt{a} = \sqrt{| a |} \cdot e^{i (ϕ + 2 π k) / 2}

,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а Шаблон:Mvar может принимать значения Шаблон:Math и Шаблон:Math, таким образом, в итоге получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из $a + b i$ ; оба значения корня имеют вид $\pm (c + d i)$ где:

c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}}

d = sgn (b) \sqrt{\frac{- a + \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}}

Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением $c + d i$ в квадратШаблон:Sfn.

Пример: для квадратного корня из $3 + 4 i$ формулы дают два значения: $2 + i; - 2 - i .$

Квадратный корень как элементарная функция

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции $x^{α}$ с $α = 1 / 2$ . Арифметический квадратный корень является гладким при $x > 0,$ в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем Шаблон:Sfn.

Производная функции квадратного корня вычисляется по формуле:

\frac{d (\sqrt{x})}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, два листа которой соединяются в нуле (см. подробнее Комплексный анализ).

В элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх тогоШаблон:Sfn.

В информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от Шаблон:Lang-en «квадратный корень»).

Применение

Квадратные корни используются повсеместно в математике и естественных науках, например:

(численные методы) в формулах для вычисления корней квадратного уравнения, а также корней уравнения третьей и четвёртой степени;
(геометрия) в определении евклидовой нормы в евклидовом пространстве, а также в таких обобщениях, как гильбертовы пространства;
(теория вероятностей и статистика) в определении стандартного отклонения случайной величины;
(физика) в преобразованиях Лоренца специальной теории относительности участвует множитель $\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}};$
(небесная механика) период $T$ обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью $A$ её орбиты соотношением: $T = k \sqrt{A^{3}}$ (следствие третьего закона Кеплера).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Шаблон:Main

Разложение в ряд Тейлора

\sqrt{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n)!}{(1 - 2 n) (n!)^{2} (4^{n})} x^{n} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} - \frac{5}{128} x^{4} + \dots,

при

| x | ⩽ 1

.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа Шаблон:Mvar требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если Шаблон:Math, пусть D будет числом цифр Шаблон:Mvar слева от десятичной запятой. Если Шаблон:Math, пусть Шаблон:Mvar будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если Шаблон:Mvar нечётно, Шаблон:Math, тогда используем

\sqrt{S} \approx 2 \cdot 1 0^{n} .

Если Шаблон:Mvar чётно, Шаблон:Math, тогда используем

\sqrt{S} \approx 6 \cdot 1 0^{n} .

Два и шесть используются потому, что $\sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2$ и $\sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 .$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $2^{⌊ D / 2 ⌋}$ (здесь Шаблон:Mvar это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

Так как треугольники $Δ A B H$ и $Δ B C H$ подобны по признаку подобия треугольников по 2 равным углам, то $\frac{| A H |}{| B H |} = \frac{| B H |}{| H C |},$ откуда $| B H |^{2} = | A H | \cdot | H C |$ и $| B H | = \sqrt{| A H | \cdot | H C |} .$

В частности, если $| A H | = 1$ , а $| H C | = x$ , то $| B H | = \sqrt{x}$ Шаблон:Sfn.

Итерационный аналитический алгоритм

Шаблон:Main Данный способ был известен уже в Древнем Вавилоне. Он позволяет найти приближённое значение квадратного корня с любой точностью,

Последовательные приближения рассчитываются по формуле: ${\begin{matrix} x_{0} = a \\ x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) \end{matrix}$ тогда $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \sqrt{a}$

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для $\sqrt{5}$ взять начальное приближение $x_{0} = 2,$ то получим:

x_{1} = \frac{9}{4} = 2, 25; x_{2} = \frac{161}{72} = 2, 23611 \dots; x_{3} = \frac{51841}{23184} = 2, 2360679779 \dots

В заключительном значении верны все приведённые цифры, кроме последней.

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа Шаблон:Mvar с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число Шаблон:Mvar на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так, Шаблон:Math можно представить как Шаблон:Math. В отличие от деления, снос производится такими группами по 2 цифры.

Записать число Шаблон:Mvar (в примере — Шаблон:Math) на листке.
Найти $a$ , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа Шаблон:Mvar (старшая группа — самая левая, не равная нулю), а квадрат $a + 1$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное $a$ справа от Шаблон:Mvar (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $a^{2} = 2^{2} = 2 \cdot 2 = 4 < 6$ , а $(a + 1)^{2} = 3^{2} = 3 \cdot 3 = 9 > 6$ ).
Записать квадрат $a$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов Шаблон:Mvar выписанного квадрата числа $a$ и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число, равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от Шаблон:Mvar), умноженное на Шаблон:Math. Назовём это число $b$ . (На первом шаге примера это число просто есть $b = 2 \cdot 20 = 40$ , на втором $b = 26 \cdot 20 = 520$ ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа Шаблон:Mvar справа от результата вычитания. Назовем $c$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число $c = 296$ , на втором $c = 2096$ ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа Шаблон:Mvar, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое $a$ , что $(b + a) \cdot a$ меньше или равно $c$ , но $(b + (a + 1)) \cdot (a + 1)$ больше, чем $c$ . Записать найденное $a$ справа от N как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что $a$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем Шаблон:Math справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число Шаблон:Math, так как $(40 + 6) \cdot 6 = 46 \cdot 6 = 276 < 296$ , но $(40 + 7) \cdot 7 = 47 \cdot 7 = 329 > 296$ ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности, прекращаем процесс вычисления.
Записать число $(b + a) \cdot a$ под $c$ . Провести вычитание столбиком числа $(b + a) \cdot a$ из $c$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Вариации и обобщения

Квадратный корень из $a$ определяется как решение уравнения $x^{2} = a,$ и его в принципе можно определить не только для чисел, но и всюду, где такое уравнение имеет смысл. В общей алгебре применяется следующее формальное определение: Шаблон:Рамка Пусть $(G, \cdot)$ — группоид и $a \in G$ . Элемент $x \in G$ называется квадратным корнем из $a,$ если $x \cdot x = a$ . |} Чаще всего рассматривают такие обобщения в алгебраических кольцах.

Если кольцо есть область целостности, то квадратных корней из ненулевого элемента может быть либо два, либо ни одного. В самом деле, если имеются два корня $a, b,$ то $a^{2} = b^{2},$ откуда: $(a - b) (a + b) = 0$ , то есть, в силу отсутствия делителей нуля, $a = \pm b$ . В более общем случае, когда в кольце имеются делители нуля или оно некоммутативно, число корней может быть любым.

В теории чисел рассматривается конечное кольцо вычетов по модулю $m$ : если сравнение $x^{2} \equiv a (\mod m)$ имеет решение, то целое число $a$ называется квадратичным вычетом (в противном случае — квадратичным невычетом). Решение указанного сравнения вполне аналогично извлечению квадратного корня в кольце вычетов^[9].

Корни для кватернионов имеют много общего с комплексными, но есть и существенные особенности. Квадратный кватернионный корень обычно имеет 2 значения, но если подкоренное выражение — отрицательное вещественное число, то значений бесконечно много. Например, квадратные корни из $- 1$ образуют трёхмерную сферу, определяемую формулой^[10]:

{a i + b j + c k ∣ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1} .

Для кольца квадратных матриц доказано, что если матрица положительно определена, то положительно определённый квадратный корень из матрицы существует и единственен^[11]. Для матриц других типов корней может быть сколько угодно (в том числе ни одного).

Квадратные корни вводятся также для функций^[12], операторов^[13] и других математических объектов.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:ВС

↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок ZAY49 не указан текст
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок KORN33 не указан текст
↑ Шаблон:Книга
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: * Шаблон:Книга
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.

[ZAY49-1] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок ZAY49 не указан текст

[2] Шаблон:Cite web

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Книга

[5] Шаблон:Книга

[6] Шаблон:Книга

[7] Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

[KORN33-8] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок KORN33 не указан текст

[9] Шаблон:Книга

[10] Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.

[11] См., например: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.

[12] См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: * Шаблон:Книга

[13] См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Квадратный корень

Содержание

История