Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Шаблон:Значения Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если $\alpha$ — алгебраическое число степени $n>1$, а $p$ и $q$ — любые целые числа $(q\ne 0)$, то имеет место неравенство

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{C}{q^n}$

где $C$ — положительная константа, зависящая только от $\alpha$ и выражаемая в явном виде через сопряженные с $\alpha$ величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

$\xi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n!}}.$

Обобщения

При $n=2$ теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для $n\ge 3$ теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел $\alpha$ степени $n$ и $\nu >\frac{n}{2}+1$ справедливо неравенство

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{C}{q^{\nu }}$    (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

$\nu >\underset{s=\{1,2,\dots ,n-1\}}{\min }(\frac{n}{s+1}+s)$, где $s$ — целое,

в частности, при $\nu >2\sqrt{n}$. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при $\nu >\sqrt{2n}$. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом $\nu >2$. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число $\xi$, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений $p/q$, удовлетворяющих неравенству

$|\xi -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}$.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная $C=C(\alpha ,\nu )$ в неравенстве зависит от величин $\alpha$ и $\nu$.

См. также

• Лиувиллево число

Ссылки

• Michael Filaseta. The Beginning of Transcendental Numbers