Квадрат (алгебра)

График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́т числа $x$ — результат умножения числа на себя: $x\cdot x$. Обозначение: $x^2$.

Вычисление $x^2$ — математическая операция, называемая возведе́нием в квадра́т. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа $x$ в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (Шаблон:OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления

Квадрат натурального числа $n$ можно представить в виде суммы первых $n$ нечётных чисел:

1: $1=1$

2: $4=1+3$

…

7: $49=1+3+5+7+9+11+13$

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
$n^2=1+1+2+2+\dots +(n-1)+(n-1)+n$
Пример:

1: $1=1$

2: $4=1+1+2$

…

4: $16=1+1+2+2+3+3+4$

…

Сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле:
$\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+3^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ Шаблон:Вывод

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

${(a+bi)}^2=(a^2-b^2)+2abi.$

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

${\left(r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\right)}^2=r^2(\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi ).$

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также

• Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
• Квадратное число
• Куб числа
• Обобщение на более высокие степени на Вольфраме Шаблон:Wayback.