Несократимая дробь
В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида , которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно простыШаблон:Sfn, то есть не имеют общих делителей, кроме . Например, дробь несократима, а можно сократить:
Обыкновенные дроби
Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида где — целое число, а — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:
Для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делительШаблон:Sfn НОД Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.
Для целого числа Шаблон:Mvar представлением в виде несократимой дроби является
Вариации и обобщения
Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.
Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида где — целые числа. Делителей единицы четыре: Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить[1], что дробь может быть сокращена до (уже несократимой)
Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.
Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце[2]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида , где , — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:
У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.