Рациональная функция

Пример рациональной функции от одной переменной: $f(x)=\frac{x^2-3x-2}{x^2-4}$

Пример рациональной функции от двух переменных

Рациона́льная фу́нкция (Шаблон:Lang-en), или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражениеШаблон:Переход, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение

Рациональная функцияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, или дробно-рациональная функцияШаблон:SfnШаблон:Sfn, или рациональная дробьШаблон:Sfn — это числовая функция вида

$𝕌\to 𝕌:w=R(u),$

где $𝕌$ — комплексные ($ℂ$) или вещественные ($ℝ$) числа, $R(u)$ — рациональное выражение от $u$. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)Шаблон:Sfn.

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов $P(u)$ и $Q(u)$:

$R(u)=\frac{P(u)}{Q(u)}=\frac{a_0+a_{1}u+a_2{u}^2+\cdots +a_n{u}^n}{b_0+b_{1}u+b_2{u}^2+\cdots +b_m{u}^m},$

где $Q(u)\equiv ̸0.$ Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов $P(u)$ и $Q(u)$:

$a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ и $b_0,b_1,b_2,\dots ,b_m$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Частные случаи

• Целая рациональная функция — функция вида

$ℝ\to ℝ:y=\frac{P(x)}{1},$

где переменная $x$ действительна.

• Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

$ℂ\to ℂ:w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}.$

• Преобразование Кэли

$ℂ\to ℂ:w=W(z)=\frac{z-i}{z+i}.$

• Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

$ℂ\to ℂ:w=\lambda (z)=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}),$

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. ЖуковскимШаблон:Sfn.

Обобщения

• Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

${𝕌}^{\max (n,m)}\to 𝕌:w=R(u_1,u_2,\dots ,u_{\max (n,m)})=\frac{P(u_1,u_2,\dots ,u_n)}{Q(u_1,u_2,\dots ,u_m)},$

где $Q(u_1,u_2,\dots ,u_m)\equiv ̸0$Шаблон:Sfn.

• Абстрактные рациональные функции

$R=\frac{A_1{F}_1+A_2{F}_2+\cdots +A_n{F}_n}{B_1{F}_1+B_2{F}_2+\cdots +B_m{F}_m},$

где $F_1,F_2,\dots ,F_{\max (n,m)}$ — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, $A_1,A_2,\dots ,A_n,$ и $B_1,B_2,\dots ,B_m$ — числовые коэффициентыШаблон:Sfn.

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателемШаблон:Sfn.

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математикеШаблон:Sfn.

Шаблон:Начало скрытого блока Сначала докажем, что если произведение многочленов $f(x)$ и $g(x)$ делится на $\phi (x)$, причём $f(x)$ и $\phi (x)$ взаимно просты, то $g(x)$ делится на $\phi (x)$Шаблон:Sfn.

1. Известно, что многочлены $f(x)$ и $\phi (x)$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены $u(x)$ и $v(x)$, что

$f(x)u(x)+\phi (x)v(x)=1.$

2. Умножим это равенство на $g(x)$:

$[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\phi (x)v(x)]=g(x).$

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на $\phi (x)$, следовательно, $g(x)$ также делится на $\phi (x)$.

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателяШаблон:Sfn.

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\phi (x)}{\psi (x)},$

то есть

$f(x)\psi (x)=g(x)\phi (x).$

то:

• из взаимной простоты $f(x)$ и $g(x)$ следует, что $\phi (x)$ делится на $f(x)$;
• из взаимной простоты $\phi (x)$ и $\psi (x)$ следует, что $f(x)$ делится на $\phi (x)$.

В итоге получаем, что $f(x)=c\phi (x).$

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

$c\phi (x)\psi (x)=g(x)\phi (x),$

или

$g(x)=c\psi (x).$

Итак, получили, что

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{c\phi (x)}{c\psi (x)}.$

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дробиШаблон:Sfn.

Шаблон:Начало скрытого блока Докажем последнее утверждениеШаблон:Sfn.

1. Для любой рациональной дроби $\frac{f(x)}{g(x)}$, поделив числитель на знаменатель, получим:

$f(x)=g(x)q(x)+r(x),$

причём степень $r(x)$ меньше степени $g(x).$ Поделим обе части равенства на $g(x)$, получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

$\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}.$

2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:

$\frac{f(x)}{g(x)}=q^{\prime }(x)+\frac{\phi (x)}{\psi (x)},$

где также степень $\phi (x)$ меньше степени $\psi (x)(x)$, то произведём вычитание:

$q(x)-q^{\prime }(x)=\frac{\phi (x)}{\psi (x)}-\frac{r(x)}{g(x)}=\frac{\phi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}.$

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень $\phi (x)$ меньше степени $\psi (x)$, а степень $r(x)$ меньше степени $g(x)$, то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда $q(x)-q^{\prime }(x)=0$ и

$\frac{\phi (x)}{\psi (x)}-\frac{r(x)}{g(x)}=0.$

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ простейшая, если её знаменатель $g(x)$ представляет собой степень неприводимого многочлена $p(x)$:

$g(x)=p^k(x),k⩾1,$

а степень числителя $f(x)$ меньше степени $p(x)$. Существуют две теоремыШаблон:Sfn.

• Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
• Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

• при интегрированииШаблон:Sfn;
• при разложении в ряд ТейлораШаблон:Sfn;
• при разложении в ряд ЛоранаШаблон:Sfn;
• при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дробиШаблон:Sfn.

Шаблон:Начало скрытого блока Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь $\frac{f(x)}{g(x)},$ гдеШаблон:Sfn:

$f(x)=2x^4-10x^3+7x^2+4x+3,$

$g(x)=x^5-2x^3+2x^2-3x+2.$

Решение. 1. Легко проверить, что

$g(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x^2+1),$

причём $x+2,$ $x-1,$ $x^2+1$ неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{Dx+E}{x^2+1}.$

Осталось найти числа $A$, $B,$ $C,$ $D$ и $E.$

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

$f(x)=2x^4-10x^3+7x^2+4x+3=$

$=A(x-1{)}^2(x^2+1)+$

$+B(x+2)(x^2+1)+$

$+C(x+2)(x-1)(x^2+1)+$

$+Dx(x+2)(x-1{)}^2+$

$+E(x+2)(x-1{)}^2.$

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными $A$, $B,$ $C,$ $D$ и $E,$ приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$ из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве $x=-2,$ получаем $45A=135,$ откуда $A=3.$ Полагая $x=1,$ получаем $6B=6,$ то есть $B=1.$ Полагая независимо $x=0$ и $x=-1,$ получаем систему

$\{\begin{array}{c}-2C+2E=-2,\\ -4C-4D+4E=-8.\end{array}$

Отсюда $D=1.$ Положим $x=2,$ получаем $20C+4E=-52.$ Возникает система

$\{\begin{array}{c}-2C+2E=-2,\\ 20C+4E=-52,\end{array}$

откуда $C=-2,$ $E=-3.$ Таким образом,

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3}{x+2}+\frac{1}{(x-1{)}^2}-\frac{2}{x-1}+\frac{x-3}{x^2+1}.$

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных $x_1,\dots ,x_n$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения $(x-a{)}^k$ ($a$ — вещественный корень $Q(x)$) либо $(x^2+px+q{)}^k$ (где $x^2+px+q$ не имеет действительных корней), причём степени $k$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене $Q(x)$. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Рациональное уравнение
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H