Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Шаблон:Основная статья Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на простейшие дроби.

Пусть $P$ и $Q$ — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена $P$ меньше степени многочлена $Q$. Будем полагать, что степень многочлена $Q$ равна $n$, коэффициент при старшем члене многочлена $Q$ равен 1, а $z_k$, $k\le n$ ― различные корни многочлена $Q$ с кратностями ${\alpha }_k\ge 1$, соответственно. Отсюда имеем

$Q(z)=(z-z_1{)}^{{\alpha }_1}(z-z_2{)}^{{\alpha }_2}..(z-z_k{)}^{{\alpha }_k},$

${\alpha }_1+{\alpha }_2+...+{\alpha }_k=n,$

Функция $P/Q$ представима, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей

$\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{{\alpha }_i}\frac{A_{i,j}}{(z-z_i{)}^j},$

где $A_{i,j}$ ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно $n$). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно $A_{i,j}$.

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если $Q$ имеет только некратные корни $z_k$, $k=1,...,n$, то есть все ${\alpha }_k=1$ и

$\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum _{i=1}^n\frac{A_i}{z-z_i}.$

После умножения на $z-z_k$ последнего равенства и подстановки $z=z_k$ непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

$A_k=\frac{P(z_k)}{\prod _{i\ne k}(z_k-z_i)},k=1,...,n.$.

Интегрирование

При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида

$\frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}},$

где $P_n(x)$ многочлен степени $n$. Тогда

$\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx=P_{n-1}(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\lambda \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}.$

После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена $P_{n-1}(x)$ степени $n-1$, а также $\lambda$.

Обращение ряда

Если функция $f(x)$, не равная нулю при $x=0$ разложена в ряд Маклорена:

$f(x)=a_{1}x+a_2{x}^2+\dots ,$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

$1/f(x)=b_{1}x+b_2{x}^2+\dots ,$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

$g(x)=c_{1}x+c_2{x}^2+\dots ,$

При этом используется соотношение $g(f(x))=x$, то есть весь ряд для $f(x)$ подставляется вместо $x$ в ряд для $g(x)$.

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: $\sum _{i=0}^n{i}^k$. Будем искать ответ в виде многочлена $k+1$-ой степени от $n$. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем $\sum _{i=0}^n{i}^3$ в виде $p(n)=a{n}^4+b{n}^3+c{n}^2+dn+e$.

По определению $p(n)-p(n-1)=n^3$, а также $p(1)=1$. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

$\{\begin{array}{c}4a-1=0\\ -6a+3b=0\\ 4a-3b+2c=0\\ -a+b-c+d=0\\ a+b+c+d+e=1\end{array},$

откуда получаем ответ: $\sum _{i=0}^n{i}^3=\frac{1}{4}{n}^4+\frac{1}{2}{n}^3+\frac{1}{4}{n}^2=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

Шаблон:Дополнить раздел В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения $\mathrm{\Delta }p(n)=n^3$, здесь же ищется решение уравнения $a_n{f}^{(n)}(x)+\dots +a_2{f}^{″}(x)+a_1{f}^{\prime }(x)+a_{0}f(x)=g(x)$.

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки

• Интересные примеры: разложение дроби