Степень многочлена

Шаблон:Переработать Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(Шаблон:Nums)…(Шаблон:Nums), где x₁, …, x_n — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа Шаблон:Nums — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(Шаблон:Nums)…(Шаблон:Nums), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду Шаблон:Nums, где полином p(Шаблон:Nums) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.

Степень полинома обозначается deg (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr, от Шаблон:Lang-la + de-).

Названия определённых степеней

• Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной −1 или −∞ (ниже).
• Степень константы, не равной нулю, — 0.
• Степень линейного многочлена — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени.
• Степень квадратного многочлена — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени.
• Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует уравнение 3-й степени.

В d-мерном евклидовом пространстве [[Гиперповерхность|(Шаблон:Nums)-мерная поверхность]], являющаяся решением уравнения Шаблон:Nums степени n с декартовыми координатами x₁, …, x_d, называется (Шаблон:Nums)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:

• квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую, один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью;
• кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: кубика Чирнгауза, полукубическая парабола;
• квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, квартика Люрота.

Примеры

1. Многочлен x(Шаблон:Nums) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
2. У многочлена (Шаблон:Nums)(Шаблон:Nums) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: Шаблон:Nums(x − Шаблон:Sfrac)(x − Шаблон:Sfrac), — так что он имеет степень 2.
3. У многочлена Шаблон:Nums одночлен с наибольшей степенью — это 16x⁵, а значит, степень многочлена равна 5.
4. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (Шаблон:Nums)² − (Шаблон:Nums)² имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4x².
5. 2(Шаблон:Nums)xy является многочленом третьей степени.
6. Многочлен Шаблон:Nums имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x², причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y.
7. Степень многочлена Шаблон:Nums равна 2.

Степень многочлена при операциях над ними

Умножение

При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:

$\mathrm{deg}(cp(x))=\mathrm{deg}p(x).$

Например, степень полинома 6(x − Шаблон:Sfrac)(x − Шаблон:Sfrac) = 6x² − 5x + 2, как и (x − Шаблон:Sfrac)(x − Шаблон:Sfrac) = x² + Шаблон:Sfracx + Шаблон:Sfrac, равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:

$\mathrm{deg}(p(x)q(x))=\mathrm{deg}p(x)+\mathrm{deg}q(x).$

К примеру, степень многочлена (Шаблон:Nums)(Шаблон:Nums) = Шаблон:Nums равна Шаблон:Nums.

Сложение, вычитание

Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:

$\mathrm{deg}(p(x)+q(x))⩽\max (\mathrm{deg}p(x),\mathrm{deg}q(x)).$

То же самое неравенство верно и для разности:

$\mathrm{deg}(p(x)-q(x))⩽\max (\mathrm{deg}p(x),\mathrm{deg}(-1\cdot q(x)))=\max (\mathrm{deg}p(x),\mathrm{deg}q(x)).$

При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (Шаблон:Nums)² имеет четвёртую степень, (Шаблон:Nums)² — вторую, а многочлены (Шаблон:Nums)² ± (Шаблон:Nums)² — 4-ю.

Композиция

Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:

$\mathrm{deg}[q\circ p(x)]=\mathrm{deg}[p\circ q(x)]=\mathrm{deg}p(x)\mathrm{deg}q(x).$

Например, если p(x) = Шаблон:Nums, q(x) = Шаблон:Nums, то степени многочленов Шаблон:Nums = Шаблон:Nums и Шаблон:Nums = Шаблон:Nums равны Шаблон:Nums.

Степень многочлена нескольких переменных

Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x¹y²x³ относительно x и y равна Шаблон:Nums.

В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен Шаблон:Nums имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.

Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином Шаблон:Nums имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

$x^2+y^2+xy+x+y=(x-\frac{-y-1-\sqrt{(y+1)(-3y+1)}}{2})(x-\frac{-y-1+\sqrt{(y+1)(-3y+1)}}{2}),$

а относительно y:

$x^2+y^2+xy+x+y=(y-\frac{-x-1-\sqrt{(x+1)(-3x+1)}}{2})(y-\frac{-x-1+\sqrt{(x+1)(-3x+1)}}{2}).$

Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (Шаблон:Nums)y² + (Шаблон:Nums)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (Шаблон:Nums)y² обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).

Степень нулевого многочлена

Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой, либо отрицательной — как правило, −1 или −∞.

В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.

При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):

• $\max (-\mathrm{\infty },n)=n;$
• $-\mathrm{\infty }+n=-\mathrm{\infty }.$

Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то

• $\mathrm{deg}(p(x)+0)=\mathrm{deg}p(x)=n⩽\max (\mathrm{deg}p(x),\mathrm{deg}0)=\max (n,-\mathrm{\infty })=n;$
• $\mathrm{deg}(p(x)\cdot 0)=\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty },$ а с другой стороны, $\mathrm{deg}p(x)+\mathrm{deg}0=n-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }.$

Ссылки

• https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html
• https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html