Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида

$P(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,$

где $P$ — многочлен от переменных $x_1,\dots ,x_n$, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена $P$ обычно берутся из некоторого поля $F$, и тогда уравнение $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$ называется алгебраическим уравнением над полем $F$.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена $P$.

Например, уравнение

$y^4+\frac{xy}{2}+y^2{z}^5+x^3-x{y}^2+3x^2-1=0$

является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных $x_1,\dots ,x_n$, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений

• Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида $a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n=0,$ где $n$ — натуральное число.
• Линейное уравнение
  • от одной переменной: $ax+b=0,a\ne 0.$
  • от нескольких переменных: $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n+b=0.$
• Квадратное уравнение
  • от одной переменной: $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0.$
• Кубическое уравнение
  • от одной переменной: $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0,a\ne 0.$
• Уравнение четвёртой степени
  • от одной переменной: $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,a\ne 0.$
• Уравнение пятой степени
  • от одной переменной: $a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0,a\ne 0.$
• Уравнение шестой степени
  • от одной переменной: $a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g=0,a\ne 0.$
• Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0,$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если $a_{n-k}=a_k,$, при $k=0,1,\dots ,n$.

См. также

• Алгебраическая функция
• Основная теорема алгебры
• Ряд Пюизё
• Трансцендентное уравнение

Ссылки

• Algebraic Equation Шаблон:Wayback на MathWorldШаблон:Ref-en