Возвратное уравнение

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида

$\sum _{k=0}^n(a_k{x}^k(x^{2n-2k+1}+{\lambda }^{2n-2k+1}))=0\iff a_0{x}^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+a_2{x}^{2n-1}+\dots$

$\dots +a_{n-1}{x}^{n+2}+a_n{x}^{n+1}+{\lambda }^1{a}_n{x}^n+{\lambda }^3{a}_{n-1}{x}^{n-1}+{\lambda }^5{a}_{n-2}{x}^{n-2}+\dots$

$\dots +{\lambda }^{2n-3}{a}_2{x}^2+{\lambda }^{2n-1}{a}_{1}x+{\lambda }^{2n+1}{a}_0=0$

для нечётной степени $2n+1$ и

$\sum _{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}{\lambda }^k))=0\iff a_0{x}^{2n}+a_1{x}^{2n-1}+a_2{x}^{2n-2}+\dots$

$\dots +a_{n-1}{x}^{n+1}+a_n{x}^n+{\lambda }^1{a}_{n-1}{x}^{n-1}+{\lambda }^2{a}_{n-2}{x}^{n-2}+{\lambda }^3{a}_{n-3}{x}^{n-3}+\dots$

$\dots +{\lambda }^{n-2}{a}_2{x}^2+{\lambda }^{n-1}{a}_{1}x+{\lambda }^n{a}_0=0$

для чётной степени $2n$, где $a_0\ne 0$. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении.

Альтернативный способ определения

Многочлен $\sum _{k=0}^{2n+1}(a_k{x}^k)=$ $a_{2n+1}{x}^{2n+1}+\dots +a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0$ нечётной степени $2n+1$ называется возвратным, если для некоторого $\lambda \ne 0$ равенство $\frac{a_k}{a_{(2n+1)-k}}={\lambda }^{2(n-k)+1}$ верно при любом $k$.
Многочлен $\sum _{k=0}^{2n}(a_k{x}^k)=$ $a_{2n}{x}^{2n}+\dots +a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0$ чётной степени $2n$ называется возвратным, если для некоторого $\lambda \ne 0$ равенство $\frac{a_k}{a_{(2n)-k}}={\lambda }^{(n-k)}$ верно при любом $k$.

Частные случаи

• В случае, если $\lambda =1$, то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом).

Понижение степени и нахождение корней

Любой возвратный многочлен $\sum _{k=0}^n(a_k{x}^k(x^{2n-2k+1}+{\lambda }^{2n-2k+1}))$ нечётной степени $2n+1$ имеет корень $-\lambda$ и представляется в виде произведения линейного многочлена $(x+\lambda )$ и многочлена $\sum _{k=0}^n\left(a_k{x}^k\right(\frac{x^{2n-2k+1}+{\lambda }^{2n-2k+1}}{x+\lambda }\left)\right)=$ $\sum _{k=0}^n(a_k{x}^k\sum _{t=0}^{2n-2k}((-1{)}^t{x}^t{\lambda }^{2n-2k-t}))$, имеющего чётную степень $2n$ и являющегося возвратным.

Рассмотрим теперь возвратный многочлен $\sum _{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}{\lambda }^k))$ чётной степени $2n$. По определению возвратного многочлена $a_0{\lambda }^n\ne 0$, следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде $x^n\sum _{k=0}^n\left(a_{n-k}\right(x^k+\left(\frac{\lambda }{x}{)}^k\right))$, где сумму $\sum _{k=0}^n\left(a_{n-k}\right(x^k+\left(\frac{\lambda }{x}{)}^k\right))$ можно переписать в виде многочлена относительно $t=(x+\frac{\lambda }{x})$ степени $n$.

Найдя все корни $t_i$ полученного уравнения и решив все уравнения вида $t_i=x+\frac{\lambda }{x}$ относительно $x$, получаем корни изначального возвратного уравнения $x_{2i-1,2i}=\frac{t_i\pm \sqrt{t_i^2-4\lambda }}{2}$.

Разрешимость в радикалах

Как было показано выше, возвратные уравнения степеней $2n$ и $2n+1$ сводятся к решению уравнений степени $n$, которые разрешимы в радикалах вплоть до $n=4$ по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение $(t_i\pm \sqrt{t_i^2-4\lambda })/2$, позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме $(-\lambda )$ для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени $n$ относительно $t$, является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно $t$ степени не более $4$, разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает $9$.

Ссылки

• The Fundamental Theorem for Palindromic PolynomialsШаблон:Ref-en на MathPages.