Уравнение пятой степени

График полинома 5-й степени с четырьмя критическими точками.

Уравнением пятой степени называют уравнение вида: $a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$

Теорема Виета для уравнения пятой степени

Корни уравнения пятой степени $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ связаны с коэффициентами $a,b,c,d,e,f$ следующим образом:

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=-\frac{b}{a},$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_1{x}_5+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_2{x}_5+x_3{x}_4+x_3{x}_5+x_4{x}_5=\frac{c}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_2{x}_5+x_1{x}_3{x}_4+x_1{x}_3{x}_5+x_1{x}_4{x}_5+x_2{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_5+x_2{x}_4{x}_5+x_3{x}_4{x}_5=-\frac{d}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4+x_1{x}_2{x}_3{x}_5+x_1{x}_2{x}_4{x}_5+x_1{x}_3{x}_4{x}_5+x_2{x}_3{x}_4{x}_5=\frac{e}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5=-\frac{f}{a}.$

Решение

Точной формулы решения уравнения пятой степени в радикалах не существует. Если $a=1,f=0$, то уравнение имеет вид:

$x^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex=0$, где $x$ выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

$x(x^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e)=0$, где один из корней равен нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если $b=d=0$, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

$\pm \sqrt{-c\pm \frac{\sqrt{c^2-4e}}{2}}$.

Если $b=e=0$, уравнение в скобках имеет вид

$x^4+c{x}^2+dx=0$, где выносим за скобки:

$x(x^3+cx+d)=0$, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

Также, решение общего уравнения пятой степени может быть сведено с помощью замен и преобразования Бринга-Жерара к уравнению вида $x^5+x+a=0$

Решение уравнения вида $x^5+x+a=0$ может быть представлено в виде ряда:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(5n)!}{(4n+1)!n!}{a}^{4n+1}$

Пример

Решите уравнение

$x^5+5x=0$.

Решение. Выносим $x$ за скобки:

$x(x^4+5)=0$.

Раскладываем $x^4+5$ на множители:

$x(x-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)=0$.

Уравнение имеет пять корней:

$x_1=0$, $x_2=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$, $x_3=-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$, $x_4=-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$, $x_5=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$.

Ссылки

• О решении уравнения пятой степени
• О решении уравнений высших степеней