Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

$y^3+py+q=0$

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано».

Любое кубическое уравнение общего вида

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

при помощи замены переменной

$x=y-\frac{b}{3a}$

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}=\frac{3ac-b^2}{3a^2},$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}.$

Формула

Определим величинуШаблон:Sfn:

$Q={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2.$

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

• $Q>0$ — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
• $Q=0$ — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если $p=q=0$, то один трёхкратный вещественный корень.
• $Q<0$ — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

$y_1=\alpha +\beta ,$

$y_{2,3}=-\frac{\alpha +\beta }{2}\pm i\frac{\alpha -\beta }{2}\sqrt{3},$

где

$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}},$

$\beta =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}},$

Дискриминант многочлена $y^3+py+q$ при этом равен $\mathrm{\Delta }=-108Q$.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений $\alpha$ необходимо брать такое $\beta$, для которого выполняется условие $\alpha \beta =-p/3$ (такое значение $\beta$ всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения $\alpha ,\beta$.

См. также

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Резольвента алгебраического уравнения
• Тарталья, Никколо
• Теорема Абеля — Руффини

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
• http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf