Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение $4$-й степени имеет вид Шаблон:Формула Если $y_1$ — произвольный корень кубического уравнения Шаблон:Формула (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm \sqrt{(\frac{a^2}{4}-b+y_1)x^2+(\frac{a}{2}{y}_1-c)x+\frac{y_1^2}{4}-d},$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

$A{x}^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E=0,$

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

$\alpha =-\frac{3B^2}{8A^2}+\frac{C}{A},$

$\beta =\frac{B^3}{8A^3}-\frac{BC}{2A^2}+\frac{D}{A},$

$\gamma =-\frac{3B^4}{256A^4}+\frac{B^{2}C}{16A^3}-\frac{BD}{4A^2}+\frac{E}{A},$

если $\beta =0$, тогда, решив $u^4+\alpha u^2+\gamma =0$ и, сделав подстановку $x=u-\frac{B}{4A}$, найдём корни:

$x=-\frac{B}{4A}{\pm }_s\sqrt{\frac{-\alpha {\pm }_t\sqrt{{\alpha }^2-4\gamma }}{2}},\beta =0$.

$P=-\frac{{\alpha }^2}{12}-\gamma ,$

$Q=-\frac{{\alpha }^3}{108}+\frac{\alpha \gamma }{3}-\frac{{\beta }^2}{8},$

$R=-\frac{Q}{2}\pm \sqrt{\frac{Q^2}{4}+\frac{P^3}{27}}$, (любой знак квадратного корня подойдёт)

$U=\sqrt[3]{R}$, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

$y=-\frac{5}{6}\alpha +U+\{\begin{array}{cc}U=0& \to -\sqrt[3]{Q}\\ U\ne 0& \to \frac{-P}{3U}\end{array},$

$W=\sqrt{\alpha +2y}$

$x=-\frac{B}{4A}+\frac{{\pm }_{s}W{\pm }_t\sqrt{-(3\alpha +2y{\pm }_s\frac{2\beta }{W})}}{2}.$

Здесь ${\pm }_s$ и ${\pm }_t$ — два независимых параметра, каждый из которых равен либо $+$, либо $-$. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений ${\pm }_s$ и ${\pm }_t$ равно степени его кратности. В зависимости от выбора $U$ (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

$x^4+a{x}^2+bx+c=0$

Обозначим корни уравнения как $x_1,x_2,x_3,x_4$. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

$x_1+x_2+x_3+x_4=0:$

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

$x_3=-W+iV$

$x_4=-W-iV$

Причём $W$, $V$ — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

$x_1=W+iK$

$x_2=W-iK$

Здесь $K$ может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

$a=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=x_1{x}_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3{x}_4=$

$=(W^2+K^2)+(W^2+V^2)-4W^2=V^2+K^2-2W^2$

Выразим К через остальные коэффициенты:

$K^2=a+2W^2-V^2$

$c=x_1{x}_2{x}_3{x}_4=W^4+(V^2+K^2)W^2+K^2{V}^2=W^4+2W^4+a{V}^2+2W^2{V}^2-V^4+a{W}^2$

или

$V^4-(a+2W^2)V^2+c-3W^4-a{W}^2=0$

Итого

$V^2=1/2((a+2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+8a{W}^2+16W^4})$

$b=x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=(W^2+K^2)\cdot (-2W)+(W^2+V^2)\cdot (2W)=2W(V^2-K^2)=$

$=2W(2V^2-a-2W^2)=2W\cdot \sqrt{a^2-4c+8a{W}^2+16W^4}$

Или $b^2=4W^2\cdot (a^2-4c+8a{W}^2+16W^4)$

Отсюда $64W^6+32a{W}^4+4(a^2-4c)W^2-b^2=0$

Заменяя $y=W^2$, получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

• Теорема Абеля — Руффини
• Формула Кардано

Ссылки

• Метод Феррари и разбор на примере
• Поэтапный разбор решения Феррари на примереШаблон:Ref-en