Уравнение четвёртой степени

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками

Уравне́ние четвёртой сте́пени — в математике алгебраическое уравнение вида:

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,a\ne 0.$

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция $f(x)$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если $a>0$, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если $a<0$, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени $x_1,x_2,x_3,x_4$ связаны с коэффициентами $a,b,c,d,e$ следующим образом:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a},$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=\frac{c}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-\frac{d}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4=\frac{e}{a}.$

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

$x^4+p{x}^2+qx+r=0$

сводится к решению кубической резольвенты

$y^3-2p{y}^2+(p^2-4r)y+q^2=0.$

Корни резольвенты $y_1,y_2,y_3$ связаны с корнями исходного уравнения $x_1,x_2,x_3,x_4$ (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

$y_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4),$

$y_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4),$

$y_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3).$

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано.

Три формулы соотношений между $y_i$ и $x_i$ вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при $x^3$)

$x_1+x_2+x_3+x_4=0$

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,a\ne 0$

сделаем подстановку $x=y-\frac{b}{4a}$, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

$y^4+p{y}^2+qy+r=0,$

где $p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2},$

$q=\frac{8a^{2}d-4abc+b^3}{8a^3},$

$r=\frac{256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4}{256a^4}.$

Корни $y_1,y_2,y_3,y_4$ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

$\pm \sqrt{z_1}$ $\pm \sqrt{z_2}$ $\pm \sqrt{z_3},$

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

$(\pm \sqrt{z_1})(\pm \sqrt{z_2})(\pm \sqrt{z_3})=-\frac{q}{8},$

причём $z_1,z_2,z_3$ — это корни кубического уравнения

$z^3+\frac{p}{2}{z}^2+\frac{p^2-4r}{16}z-\frac{q^2}{64}=0.$

Решение Феррари

Шаблон:Main Решение уравнения четвёртой степени вида $x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ может быть найдено по методу Феррари. Если $y_1$ — произвольный корень кубического уравнения Шаблон:EF (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm \sqrt{(\frac{a^2}{4}-b+y_1)x^2+(\frac{a}{2}{y}_1-c)x+\frac{y_1^2}{4}-d}$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, где $a,b,c$ — заданные комплексные числа и $a=0$. Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой $y=x^2;y⩾0$ оно сводится к квадратному уравнению относительно $y$.

Четыре его корня находятся по формуле

$x_{1,2,3,4}=\pm \sqrt{\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}.$

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ такого, что $a\ne 0$, решение находится приведением к виду:

$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c=0$,

После замены $t=x+\frac{1}{x}$ ищется решение квадратного уравнения $a{t}^2+bt+c-2a=0$, а затем — квадратного уравнения $x^2-tx+1=0$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Лекция 4 в кн.: Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath