Алгебраическая функция

Шаблон:Проверить факты Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ называется алгебраической в точке $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$, если существует окрестность точки $A$, в которой верно тождество

$P(F(x_1,x_2,\dots ,x_n),x_1,x_2,\dots ,x_n)=0.$

где $P$ есть многочлен от $n+1$ переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного $F(x)=\sqrt{1-x^2}$ является алгебраической на интервале $(-1,1)$ в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

$F^2+x^2=1.$

Существует аналитическое продолжение функции $F(x)=\sqrt{1-x^2}$ на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком $[-1,1]$ или с двумя вырезанными лучами $(-\mathrm{\infty },-1]$ и $[1,\mathrm{\infty })$. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Шаблон:Main Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, $\sqrt{2}$ — алгебраическое иррациональное число, а $\pi$ — трансцендентное иррациональное число.

См. также

• Аналитическая функция
• Трансцендентная функция

Литература

• Шаблон:Книга