Квадрика

Ква́дрика, или квадри́ка,  — n-мерная гиперповерхность в n + 1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты Шаблон:Nowrap} Шаблон:S, общее уравнение квадрики имеет вид

$\sum _{i,j=1}^{n+1}{x}_i{Q}_{ij}{x}_j+\sum _{i=1}^{n+1}{P}_i{x}_i+R=0.$

Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:

$xQ{x}^T+P{x}^T+R=0$

где x = Шаблон:Nowrap} — вектор-строка, x^T — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.

Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.

Квадрики в евклидовом пространстве

Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.

Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм. Из них 5 являются невырожденными (то есть матрица $\left(\begin{array}{cc}Q& \frac{P^T}{2}\\ \frac{P}{2}& R\end{array}\right)$ является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.

Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве
Эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
Эллиптический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0$
Гиперболический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0$
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
Двуполостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

Аффинное и проективное пространство

Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве. Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид $x^2+y^2+z^2=1$ невозможно перевести движением в эллипсоид $2x^2+2y^2+2z^2=1$).

От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты $(x_1,x_2,\dots x_{n+1}),$ тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на $x_0,$ а свободный член на $x_0^2.$ Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид

$Q(x)=\sum _{ij}{a}_{ij}{x}_i{x}_j=0.$

Без ограничения общности можно считать, что матрица $Q$ симметрична, то есть $a_{ij}=a_{ji}.$ Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.

В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду

$Q(x)=\pm x_0^2\pm x_1^2\pm \cdots \pm x_{n+1}^2$

Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:

$Q(x)=\{\begin{array}{c}{x}_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2\end{array}$

Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.

Произношение термина

• В словарях приводятся различные ударения: квадри́ка («русское» произношение) и ква́дрика («иностранное» произношение).
• В разговорном языке используется произношение как квадри́ка (Калининградская геометрическая школа), так и ква́дрика. Не известно примеров другого произношения.

Литература

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.

См. также

• Коническое сечение
• Коническая константа
• Кривая второго порядка
• Кубика
• Поверхность второго порядка
• Теорема Брианшона
• Теорема Паскаля
• Фигуры Лиссажу