Движение (математика)

Шаблон:Значения Движе́ние (или наложе́ние) — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ — образы точек $A$ и $B$, то $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$. Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Собственные и несобственные движения

Пусть $f:E\to E$ — движение евклидова точечного пространства $E,$ а $V$ — пространство свободных векторов для пространства $E$. Линейный оператор $Df:V\to V,$ ассоциированный с аффинным преобразованием $f,$ является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо $1$ (собственный ортогональный оператор), либо $-1$ (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если $\det Df=1$) и несобственные (если $\det Df=-1$)Шаблон:Sfn.

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства $E,$ несобственные — заменяют её на противоположную. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениямиШаблон:Sfn.

Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства $E$ может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера $(O^{\prime };e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n),$ в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве $E$ ортонормированный репер $(O;e_1,\dots ,e_n).$ При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства $E$ (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существуетШаблон:Sfn.

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства $E,$ которое непрерывно зависит от параметра $t\in [t_0,t_1]$ (при $n=3$ в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер $(O^{\prime };e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n)$ может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера $(O;e_1,\dots ,e_n)$ тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаковоШаблон:Sfn.

Частные виды изометрий

На прямой

Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственнымШаблон:Sfn.

На плоскости

Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов:

• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Осевая симметрия (отражение);
• Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственныеШаблон:Sfn.

В трёхмерном пространстве

Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов:

• Параллельный перенос;
• Поворот;
• Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
• Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
• Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
• Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственнымиШаблон:Sfn.

В n-мерном пространстве

Суперпозиция двух отражений относительно непараллельных осей даёт поворот

Суперпозиция двух отражений относительно параллельных осей даёт параллельный перенос

В $n$-мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).

Движения как суперпозиции симметрий

Любую изометрию в $n$-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отраженийШаблон:Sfn.

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.

Общие свойства изометрий

• Суперпозиция изометрий также является изометриейШаблон:Sfn.
• Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
• Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E)Шаблон:Sfn.
• Группа Iso(E) состоит из двух связных компонент: множества Iso₊(E) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso_–(E) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связнаШаблон:Sfn.
• Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга