Ориентация

Ориентация поверхности на основе векторов нормалей к ней во всех точках

Шаблон:Якорь Ориента́ция (от Шаблон:Lang-fr, буквально направление на востокШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, от лат. oriens — востокШаблон:SfnШаблон:Sfn) — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далееШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В классическом понимании ориентация пространства — это выбор одного из классов систем координат пространства, причёмШаблон:Sfn:

• системы координат одного класса положительно связаны между собой;
• каждая система координат задает некоторую ориентацию, тем самым определяя свой класс.

Шаблон:Якорь В элементарной математике ориентация часто описывается через направления по часовой стрелке и против часовой стрелки. Более продвинутые определения даются через теорию когомологий.Шаблон:Sfn

Одномерные геометрические объекты

Ориентированная прямая

Определение ориентированной прямой

Горизонтальная прямая $AB$

Шаблон:Якорь На прямой точка может двигаться в двух противоположных направлениях. Например, если прямая $AB$ расположена горизонтально (см. рисунок справа с горизонтальной прямой), то на ней возможны два движения в противоположных направленияхШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• слева направо,
• справа налево.

Ориентированная прямая, или направленная прямая, или ось — прямая вместе с фиксированным направлением на нейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Две ориентированные прямые параллельны, если их направления совпадаютШаблон:Sfn.

Линейный элемент

Линейный элемент

Линейный элемент — пара геометрических образов: точка и направленная прямая, проходящая через эту точкуШаблон:SfnШаблон:Sfn. Другими словами, линейный элемент — это точка и направление, заданное в этой точке. Бесконечно удалённый линейный элемент — пара геометрических образов: бесконечно удалённая точка плоскости и направление, которое определяется любой направленной прямой (параллельные прямые задают одно направление)Шаблон:Sfn.

Окружности, точки и прямые в касательной аналлагматической геометрии понимаются следующим образомШаблон:Sfn:

• направленной окружностью называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой окружности и касательной прямой к окружности в этой точке, причем направление линейного элемента совпадает с направлением окружности;
• точкой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых имеет в своём составе эту точку;
• направленной прямой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой прямой и направлением прямой.

На следующем рисунке показаны направленная окружность, точка и направленная прямая, задаваемые линейными элементами.

• Геометрические образы, определяемые линейными элементами
• 
  Направленная окружность
• 
  Точка
• 
  Направленная прямая

Ориентированное расстояние

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую с уравнением $Ax+By+C=0,$ где $C\ne 0$, то есть прямая не проходит через начало координат $O$, и произвольную точку $M_1(x_1,y_1)$. Тогда расстояние от точки до прямой равно следующему выражениюШаблон:Sfn:

$d=|\delta |=\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

Возможны три случаяШаблон:Sfn:

• знаки чисел $\delta$ и $C$ одинаковы. В этом случае точки $M_1$ и $O$ находятся по одну сторону от данной прямой;
• знаки чисел $\delta$ и $C$ противоположны. В этом случае точки $M_1$ и $O$ находятся по разные стороны от данной прямой;
• $\delta =0$, то есть $A{x}_1+B{y}_1+C=0$. В этом случае точка $M_1$ принадлежит данной прямой.

Ориентированное расстояние от точки до прямой — число

$\delta =\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}},$

полученное из координат точки $M_1(x_1,y_1)$ и прямой $Ax+By+C=0$, $C\ne 0$Шаблон:Sfn.

Ориентированный отрезок

Ориентированный отрезок как вектор

Вектор $\overrightarrow{AB}$

Ве́ктор — ориентированный, или направленный, отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек начало, а какая — конецШаблон:Sfn.

Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ принято обозначать как $\overrightarrow{AB}$. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например $\overrightarrow{a}$. Другой распространённый способ записи: написание символа вектора прямым жирным шрифтом: $𝐚$Шаблон:Sfn.

Ориентированный отрезок как скаляр

На ориентированной прямой любой отрезок характеризуется не только своей абсолютной величиной (модулем) как скаляром, но ещё и знакомШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьШаблон:Якорь Ориентированный, или направленный, отрезок как скаляр — число, равное модулю отрезка со знаком плюс, если направление отрезка как вектора совпадает с направлением прямой, на которой он лежит, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Направленные отрезки обозначаются чертой над обозначением обычного отрезкаШаблон:Sfn:

• $AB$ — обычный (ненаправленный) отрезок;
• $\overline{AB}$ — направленный отрезок.

Два отрезка на ориентированной прямой

Например, на рисунке справа с направленной прямой направленный отрезок $\overline{AB}$ положителен, $\overline{CD}$ — отрицателенШаблон:Sfn.

Предложение 1. Простые отрезки $AB$ и $BA$ не различаются, но при этом направленные отрезки противоположныШаблон:Sfn:

$\overline{AB}=-\overline{BA}$.

Предложение 2. Произведение и отношение двух направленных отрезков на одной прямой не зависят от направления на прямойШаблон:Sfn.

Доказательство. Пусть $AB$ и $CD$ — два простых отрезка одной прямой. Тогда независимо от направления прямой произведение $\overline{AB}\cdot \overline{CD}$ и отношение $\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}$Шаблон:Sfn:

• положительны, если направления отрезков $AB$ и $CD$ как векторов совпадают;
• отрицательны, если направления отрезков $AB$ и $CD$ как векторов противоположны.

Ориентированная кривая

Определение ориентированной кривой

Две ориентированные окружности

Аналогично ориентации прямой любая замкнутая кривая ориентируема двумя способамиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• против часовой стрелки;
• по часовой стрелке.

На рисунке справа показаны две ориентированные окружности: окружность слева ориентирована против часовой стрелки, справа — по часовой стрелкеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентированная, или направленная, кривая — кривая вместе с фиксированным направлением на нейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Ориентированная окружность

Ориентированная, или направленная, окружность, или цикл, — окружность, для которой окончательно выбрано одно из двух направленийШаблон:Sfn.

Две ориентированные окружности касаются, если их направления в общей точке совпадают. Ориентированная окружность и ориентированная прямая касаются, если их направления в общей точке совпадаютШаблон:Sfn.

На следующем рисунке показаны:

• касающиеся ориентированные окружности;
• не касающиеся ориентированные окружности, которые касаются как обычные окружности.

• Касание направленных окружностей
• 
  Касающиеся ориентированные окружности
• 
  Не касающиеся ориентированные окружности, касающиеся как обычные окружности

Ориентированный многоугольник

Выпуклый ориентированный многоугольник с отрицательной ориентацией площади

Рассмотрим произвольный многоугольник (не обязательно на плоскости), то есть замкнутую ломаную линиюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентированный многоугольник, или замкнутый многоугольный путь, — многоугольник (возможно, самопересекающийся, то есть ломаная линия самопересекается), у которого (см. рисунок справа с выпуклым многоугольником)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• на каждой стороне задано направление, то есть одна из вершин стороны выбрана начальной, а другая — конечной;
• начало каждой стороны есть конец предыдущей.

Ориентация площади простого многоугольника — площадь области плоскости, ограниченной ориентированным простым (то есть не самопересекающимся) плоским многоугольником, назначается положительной, если обход многоугольника по направлению его сторон происходит против часовой стрелки, то есть эта область плоскости остаётся слева при обходе, и отрицательной в противоположном случае (см. рисунок справа с отрицательной ориентацией площади)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определим площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника, который делит плоскость на фиксированное количество кусков двух типовШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• внутренние связные конечные куски,
• внешний бесконечный кусок.

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника — разность $p-q$, где числа $p$ и $q$ получаются следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• точка внешнего куска многоугольника соединяется отрезком с внутренней точкой выбранного внутреннего куска;
• направленный многоугольник пересекает этот отрезок $p$ раз слева направо и $q$ справа налево.

Предложение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулюШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника — взвешенная сумма обычных площадей всех внутренних кусков самопересекающегося многоугольника, в которой обычная площадь куска умножается на его коэффициентШаблон:SfnШаблон:Sfn.

• Геометрические образы, определяемые линейными элементами
• 
  Ориентированная площадь $-2$
• 
  Ориентированная площадь $0$
• 
  Ориентированная площадь $+9$

Практическое применение. Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника важна для теории Шаблон:Iw, в частности, для теории планиметра. В этом случае площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника равна следующим величинам:

• $\oint \frac{{\rho }^{2}dw}{2}$ в полярных координатах $(\rho ,w)$;
• $\oint ydx$ в декартовых координатах $(x,y)$,

где соответственно конец радиус-вектора $\rho$ или ордината $y$ один раз пробегают данный замкнутый многоугольный путьШаблон:Sfn.

Ориентированная плоскость

Ориентированная плоскость — плоскость с выбранной на ней фиксированной ориентациейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Плоскость можно ориентировать следующими двумя способамиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• различными ориентированными геометрическими фигурамиШаблон:Sfn;
• выбором ориентированной системы декартовых координатШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентация простых замкнутых кривых

Простую замкнутую кривую на плоскости ориентируется двумя разными способами: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Ориентация такой кривой автоматически ориентирует ограниченную кривой часть плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Две правых и левая координатные системы

Одинаковая ориентация двух простых замкнутых кривых — нахождение с одной и той же стороны частей плоскости, ограниченных кривыми, при обходе кривых в направлении, заданном их ориентацией (слева при обходе против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке). Например, на рисунке справа две первые окружности ориентированы одинаково, а последняя — противоположно с первымиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предложение 1. Выбор ориентации одной простой замкнутой кривой на плоскости определяет ориентацию всех остальных простых замкнутых кривых на плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентированная плоскость — плоскость с выбранной фиксированной ориентацией простых замкнутых кривых, лежащих на нейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предложение 2. Простая замкнутая кривая, зеркально симметричная ориентированной простой замкнутой кривой, получает ориентация, противоположную ориентации исходной кривойШаблон:Sfn.

Два класса систем координат на плоскости

Декартовые системы координат на плоскости

Ориентация плоскости — выбор осей декартовой системы координат $Ox$ и $Oy$, при которой ориентацию окружности с центром в начале координат определяют направлением от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$ через меньший уголШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Плоскость можно ориентировать двумя способами, при этом получается два класса систем координат: класс правых систем и класс левых.Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Правая система координат — декартова система координат, у которой направление вращения с центром в начале координат $O$ от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$ через меньший угол есть направление вращения против часовой стрелкиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Левая система координат — декартова система координат, у которой направление вращения с центром в начале координат $O$ от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$ через меньший угол есть направление вращения по часовой стрелкеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Две правых и левая координатные системы

Например, на рисунке справа сначала показаны две правые системы координат, а последней показана левая система координатШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Матрица замены декартовых систем

Рассмотрим две произвольные декартовы система координат $Oxy$ и $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$. Координаты $(x,y)$ и $(x^{\prime },y^{\prime })$ одной и той же точки на плоскости в этих системах координат связаны соотношениями

$x^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+b_1,$

$y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+b_2,$

где определитель матрицы, составленной из коэффициентов этой системы уравнений,

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$

отличен от нуляШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Матрица замены — матрица $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$, составленная из коэффициентов системы уравнений, связывающей координаты фиксированной точки в двух разных декартовых системах координатШаблон:Sfn.

Предложение 1. Две декартовы система координат $Oxy$ и $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если определитель их матрицы замены $\mathrm{\Delta }>0$, и противоположно, если $\mathrm{\Delta }<0$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Это утверждение используется для построения строгой аналитической теории ориентации плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором определитель матрицы замены положителенШаблон:Sfn.

Предложение 2. Две декартовы системы координат $Oxy$ и $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует такое семейство координатных систем $O_t{x}_t{y}_t$, котороеШаблон:Sfn:

• непрерывно зависит от параметра $t\in [0,1]$;
• связывает системы $Oxy$ и $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$, то есть $O_0{x}_0{y}_0$ совпадает с $Oxy$, а $O_1{x}_1{y}_1$ — с $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$.

Предложение 3. Декартова система координат переходит в другой класс при зеркальном отражении плоскостиШаблон:Sfn.

Множество всех декартовых систем

Рассмотрим множество $S$ всех декартовых систем координат на плоскости. Это множество состоит из двух непересекающихся подмножеств $S^{\prime }$ и $S^{″}$ — классов — таких, чтоШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• в пределах $S^{\prime }$, равно как и в пределах $S^{″}$, декартовы системы координат связаны преобразованиями с $\mathrm{\Delta }>0$;
• каждая декартова система координат из $S^{\prime }$ связана с декартовой системой координат из $S^{″}$ преобразованием с $\mathrm{\Delta }<0$, и наоборот.

Ориентация плоскости — выбор одного из двух классов декартовых систем координатШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Правая и левая координатные системы

Правило задания класса системы координат с помощью окружности. Начало декартовой системы координат лежит в центре окружность с фиксированным направлением обхода, ось $Ox$ выбирается произвольно, а ось $Oy$ — так, чтобы вращение от $Ox$ к $Oy$ через меньший угол происходило в направлении, заданном на окружности (см. рисунок справа с двумя разными классами систем координат)Шаблон:Sfn.

Знак площадей и углов на плоскости

Знак площадей, ограниченных ориентируемыми замкнутыми кривыми, и углов на плоскости зависит от выбора ориентации на этой плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Две ориентированные окружности

Рассмотрим, например, величину площади

$S=\frac{1}{2}\underset{C}{\int }xdy-ydx$

фигуры, ограниченной ориентированной замкнутой кривой $C$, заданной параметрически. Получим два случаяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• в правой системе координат площадь фигуры положительна, если она ограничена кривой, ориентированной против часовой стрелки (см. первую фигуру на рисунке справа), и отрицательна для противоположной ориентации кривой (см. вторую фигуру на рисунке справа);
• в левой системе координат наоборот, площадь фигуры отрицательна, если она ограничена кривой, ориентированной против часовой стрелки (см. первую фигуру на рисунке справа), и положительна для противоположной ориентации кривой (см. вторую фигуру на рисунке справа).

Двумерные геометрические объекты

Ориентированный угол

Знак ориентированного угла

На ориентированной плоскости любой угол между обычными (ненаправленными) прямыми характеризуется не только своей абсолютной величиной как скаляром, но ещё и знакомШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьШаблон:Якорь Ориентированный, или направленный, угол на ориентированной плоскости — число, равное обычному углу между прямыми $a$ и $b$ со знаком плюс, если направление вращения от $a$ к $b$ совпадает с направлением ориентации плоскости, и со знаком минус в противном случае. Направленные углы обозначим следующим образомШаблон:Sfn:

• $\mathrm{\angle }ab$ — обычный (ненаправленный) угол;
• $\sphericalangle ab$ — направленный угол.

Направленные углы

Например, на рисунке справа показаны два направленных углаШаблон:Sfn:

• положительный угол между прямыми $a$ и $b$;
• отрицательный угол между прямыми $c$ и $d$.

Предложение 1. Простые углы $\mathrm{\angle }ab$ и $\mathrm{\angle }ba$ не различаются, но при этом направленные углы противоположныШаблон:Sfn:

$\sphericalangle ab=-\sphericalangle ba$.

Абсолютная величина ориентированного угла

Направленные углы

Подобно обычному (ненаправленному) углу направленный угол однозначно не определён. Например, на рисунке справа изображены направленные углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, для которых при правой ориентации плоскости выполняются следующие равенстваШаблон:Sfn:

• $\alpha =\sphericalangle ab=\mathrm{\angle }AOB$,
• $\beta =\sphericalangle ab=-\mathrm{\angle }AOC$,
• $\beta =-\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }AOB-\pi$,
• $\gamma =\mathrm{\angle }AOB+\pi$.

Эти равенства иллюстрируют следующее предложениеШаблон:Sfn.

Предложение 1. Две прямые определяют направленный угол с точностью до произвольного кратного угла $\pi$Шаблон:Sfn.

Как правило, под направленным углом между прямыми $a$ и $b$ подразумевают минимальный по модулю направленный уголШаблон:Sfn.

Минимальный по модулю направленный угол — направленный угол $\sphericalangle ab$ между прямыми $a$ и $b$, взятыми в указанной последовательности, наименьший по абсолютной величине. Для перпендикулярных прямых принимается $\sphericalangle ab=+\frac{\pi }{2}$Шаблон:Sfn.

Равенство направленных углов — совпадение по абсолютной величине и знаку минимальных по модулю направленных углов между прямыми $a$ и $b$ и между прямыми $c$ и $d$Шаблон:Sfn:

$\sphericalangle ab=\sphericalangle cd$.

Произведение и отношение ориентированных углов

Свойство независимости от ориентации плоскости произведения и отношения направленных углов подобно аналогичному свойству направленных отрезковШаблон:Sfn.

Предложение 1. Произведение и отношение двух направленных углов на плоскости не зависят от выбора ориентации плоскостиШаблон:Sfn.

Доказательство. Пусть $\mathrm{\angle }ab$ и $\mathrm{\angle }cd$ — два простых угла на плоскости. Тогда независимо от ориентации плоскости произведение $\sphericalangle ab\cdot \sphericalangle cd$ и отношение $\frac{\sphericalangle ab}{\sphericalangle cd}$Шаблон:Sfn:

• положительны, если направления углов $\sphericalangle ab$ и $\sphericalangle cd$ совпадают;
• отрицательны, если направления углов $\sphericalangle ab$ и $\sphericalangle cd$ противоположны.

Следствие 1. Равенство или неравенство двух направленных углов на плоскости также не зависит от ориентации плоскостиШаблон:Sfn.

Доказательство. Отношение двух равных направленных углов $\sphericalangle ab$ и $\sphericalangle cd$ равно единицеШаблон:Sfn:

$\frac{\sphericalangle ab}{\sphericalangle cd}=1.$

Ориентированная поверхность

Ориентация произвольной поверхности

Ориентация произвольной поверхности, разбивающей трёхмерное пространство на две части (например, сферы), аналогична ориентации плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентация части поверхности, ограниченной простой замкнутой кривой — ориентация данной простой замкнутой кривойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Поверхности двух кубов ориентированы противоположно друг другу

Одинаковая ориентация двух частей поверхности — нахождение с одной и той же стороны частей поверхности, ограниченных замкнутыми кривыми, при обходе кривых в направлении, заданном их ориентацией (слева при обходе против часовой стрелки, справа — по часовой стрелке). Например, на рисунке справа поверхности двух кубов ориентированы противоположно друг другуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентированная поверхность — поверхность, разбивающая трёхмерное пространство на две части, на которой имеется ориентированная часть поверхности. Поверхность ориентирована соответственно ориентации кривой, ограничивающей часть поверхности (на рисунке справа поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• поверхность ориентирована правым (левым) образом, если эта кривая, наблюдаемая снаружи, ориентирована против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Бывают ориентируемые и неориентируемые поверхности.

Предложение 1. Поверхность, ограничивающая часть трёхмерного пространства, всегда ориентируемаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентация гладкой поверхности

Рассмотрим в трёхмерном пространстве гладкую поверхность $S$. ПустьШаблон:Sfn:

• $M_0\in S$ — любая точка на поверхности $S$;
• $\overrightarrow{n_0}$ — нормаль к поверхности $S$ в точке $M_0$;
• $l\subset S$ — любая замкнутая кривая на поверхности $S$ такая, что $M_0\in l$ и $l$ не имеет общих точек с границей поверхности $S$.

Обойдём кривую $l$, перемещая при этом вектор $\overrightarrow{n_0}$ вдоль $l$ непрерывно как нормаль к поверхности $S$Шаблон:Sfn.

Ориентируемая, или двусторонняя, поверхность — поверхность $S$, на которой после обхода кривой $l$ нормаль возвращается в исходную точку $M_0$ с выбранным вначале направлением нормали $\overrightarrow{n_0}$ при любой точке $M_0\in S$ и любой замкнутой кривой $l\subset S$Шаблон:Sfn.

Неориентируемая, или односторонняя, поверхность — поверхность $S$, на которой после обхода кривой $l$ нормаль возвращается в исходную точку $M_0$ с направлением нормали, противоположным выбранному вначале $\overrightarrow{n_0}$, для некоторой точки $M_0\in S$ и некоторой замкнутой кривой $l\subset S$Шаблон:Sfn.

Перечислим односторонние поверхностиШаблон:Sfn:

• лист Мёбиуса,
• бутылка Клейна,
• модели вещественной проективной плоскости:
• римская поверхность,
• поверхность Боя,
• скрещенный колпак.

• Односторонние поверхности
• 
  Лист Мёбиуса
• 
  Бутылка Клейна
• 
  Римская поверхность
• 
  Поверхность Боя
• 
  Скрещенный колпак

Ориентация поверхности на основе векторов нормалей к ней во всех точках

Сторона двусторонней поверхности — двусторонняя поверхность с указанием для всех её точек направлений нормали. Для другой стороны поверхности нормали противоположны (см. рисунок справа с векторами нормалей)Шаблон:Sfn.

Ориентация двусторонней поверхности — выбор стороны двусторонней поверхностиШаблон:Sfn.

Ориентированная двусторонняя поверхность — двусторонней поверхности с выбранной сторонойШаблон:Sfn.

Выбрать сторону двусторонней поверхности можно следующими способамиШаблон:Sfn:

• указанием нормали в любой точке поверхности;
• надлежащим описанием:

• верхняя — нижняя,
• левая — правая,
• ближняя — дальняя,
• внутренняя — внешняя;

Ориентация простых замкнутых кривых на поверхности

• выбором знака плюс или минус во всех следующих формулах:

$\cos \alpha =\frac{A}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta =\frac{B}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma =\frac{C}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Предложение 1. Ориентация двусторонней поверхности задаёт также ориентацию всех простых замкнутых кривых на этой поверхности (см. на рисунке справа ориентацию замкнутых кривых)Шаблон:Sfn.

Ориентированный многогранник

Поверхности двух кубов ориентированы противоположно друг другу

Ориентированный многогранник — многогранник (возможно, самопересекающийся, то есть с самопересекающимися гранями), у которого грани ориентированы таким образом, что каждое его ребро имеет в своих смежных гранях противоположные ориентации (см на рисунке справа противоположно ориентированные кубы)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Неориентируемый многогранник — многогранник, который нельзя сделать ориентированнымШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определим площадь поверхности и объём ориентированного многоугольника, возможно, самопересекающегося с самопересекающимися гранями. Самопересекающийся многогранник внутренними кусками граней делит пространство на фиксированное количество связных кусков двух типовШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• внутренние конечные куски,
• внешний бесконечный кусок.

Площадь самопересекающегося ориентированного многогранника — сумма площадей самопересекающихся ориентированных граней этого многогранникаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многогранника — сумма коэффициентов внутренних кусков самопересекающихся ориентированных граней, которые пересекает отрезок, соединяющий две точкиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• внешнюю точку по отношению к многограннику части пространства;
• внутреннюю точку выбранного куска.

Предложение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многогранника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Объём самопересекающегося ориентированного многогранника — взвешенная сумма обычных объёмов всех внутренних кусков самопересекающегося многогранника, в которой обычный объём куска умножается на его коэффициентШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Пространства

Ориентированное трёхмерное пространство

Ориентированное трёхмерное пространство — трёхмерное пространство с выбранной в нём фиксированной ориентациейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Многомерные пространства также можно ориентироватьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Трёхмерное пространство можно ориентировать следующими двумя способамиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• различными ориентированными геометрическими фигурами;
• выбором ориентированной системы декартовых координат.

Ориентация замкнутых поверхностей без самопересечений

Поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым

Замкнутая поверхность без самопересечений в трёхмерном пространстве ориентирована соответственно ориентации кривой, ограничивающей её поверхности (на рисунке справа поверхность первого куба ориентирована правым образом, второго — левым)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентация поверхности правым (левым) образом — ориентация кривой, которая ограничивает часть поверхности, при наблюдении снаружи против часовой стрелки (по часовой стрелке)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентация трёхмерного пространства — выбор фиксированной ориентации замкнутых поверхностей без самопересеченияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Правая (левая) ориентация трёхмерного пространства — выбор ориентации правым (левым) образом замкнутых поверхностей без самопересеченияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Два класса систем координат в трёхмерном пространстве

Два противоположно ориентированных трёхмерных пространства

Ориентация трёхмерного пространства — выбор осей декартовой системы координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$, при которой треугольник $ABC$ ориентируется в порядке $ABC$, то есть от оси $Ox$ к оси $Oy$ и потом к оси $Oz$ (см. рисунок справа с ориентацией треугольника $ABC$). Этот треугольник $ABC$ лежит на поверхности тетраэдра $OABC$ с вершиной $O$ в начале координат и вершинами $A$, $B$ и $C$ на положительных лучах осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственноШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентация трёхмерного пространства зависит от выбора его координатный осейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Правая (левая) ориентация трёхмерного пространства — такой выбор осей декартовой системы координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$, при которой треугольник $ABC$, наблюдаемый снаружи тетраэдра $OABC$, ориентируется против часовой стрелки (по часовой стрелке)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором определитель матрицы замены положителенШаблон:Sfn.

Предложение 1. Две декартовы системы координат $Oxyz$ и $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ ориентированы одинаково и принадлежат одному классу, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует такое семейство координатных систем $O_t{x}_t{y}_t{z}_t$, котороеШаблон:Sfn:

• непрерывно зависит от параметра $t\in [0,1]$;
• связывает системы $Oxyz$ и $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$, то есть $O_0{x}_0{y}_0{z}_0$ совпадает с $Oxyz$, а $O_1{x}_1{y}_1{z}_1$ — с $O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$.

Предложение 2. Декартова система координат переходит в другой класс при зеркальном отражении трёхмерного пространстваШаблон:Sfn.

Задание правой ориентации системы координат с помощью правила винта. Координатная ось $Ox$ следует по направлению ввинчивания, вращение от положительного направления оси $Oy$ к положительному направления оси $Oz$ совпадает с вращением при ввинчивании. При этом все винты должны находиться в положительной связи друг с другомШаблон:Sfn.

Правило правой руки

Задание правой ориентации системы координат с помощью правила трёх первых пальцев правой руки. Указанное правило достаточно хорошо известно и поэтому здесь не описывается (см. рисунок справа с правилом правой руки)Шаблон:Sfn.

Выбор ориентации трёхмерного пространства определяетШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• знак объёмов, ограниченных ориентированными поверхностями;
• смысл векторного произведения двух векторов
• и так далее

Конечномерное векторное пространство

Ориентация вещественного пространства

В классическом понимании ориентация пространства — это выбор одного из классов систем координат пространства, причёмШаблон:Sfn:

• системы координат одного класса положительно связаны между собой;
• каждая система координат задает некоторую ориентацию, тем самым определяя свой класс.

Рассмотрим вещественное векторное пространство ${ℝ}^n$ конечной размерности (более общо — конечномерное векторное пространство над произвольным упорядоченным полем). Здесь две системы координат связаны положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другойШаблон:Sfn.

Ориентация комплексного пространства

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в Шаблон:Iw ${ℂ}^n$ комплексный базис $e_1,e_2,\dots ,e_n$ сводится к вещественному базису $e_1,e_2,\dots ,e_n,i{e}_1,i{e}_2,\dots ,i{e}_n$ в том же пространстве ${ℂ}^n$, которое при этом отождествляется с вещественным векторным пространством ${ℝ}^{2n}$, и все такие базисы связаны попарно положительными переходами. Другими словами, комплексная структура задаёт ориентацию в ${ℝ}^{2n}$Шаблон:Sfn.

Ориентация аффинного пространства

Ориентация системы координат

Ориентацию аффинного пространства можно задать ориентацией системы координат. Пусть в вещественном аффинном пространстве $E^n$ определена система координат, образованная точкой $O$ — началом координат и репером $e$. Тогда переход между различными системами координат задаётся вектором переноса начала $O$ и заменой репера $e$Шаблон:Sfn.

Положительный переход из одной системы координат в другую — переход, при котором положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера)Шаблон:Sfn.

Одинаковая ориентация двух систем координат — общая ориентация двух систем координат в случае, когда одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть найдётся непрерывно зависящее от одного параметра $t\in [0,1]$ семейство координатных систем $(O_t,e_t)$, которая связывает данные системы, то есть одна система совпадает с $(O_0,e_0)$, другая — с $(O_1,e_1)$Шаблон:Sfn.

При отражении относительно гиперплоскости системы двух классов координат переходят друг в другаШаблон:Sfn.

Ориентация гиперплоскости

С помощью любого полупространства $E_{+}^n$ ориентированного аффинного пространства $E^n$ можно определить ориентацию граничной гиперплоскости $E^{n-1}$, например, следующим образомШаблон:Sfn.

Ориентация гиперплоскости $E^{n-1}$ — ориентация, определяемая последними векторами репера аффинного пространства $E^n$, лежащими в гиперплоскости $E^{n-1}$, когда первый вектор репера смотрит наружу из полупространства $E_{+}^n$Шаблон:Sfn.

Ориентация симплекса

Ориентацию аффинного пространства $E^n$ можно задать порядком вершин $n$-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае $E^2$, тетраэдра в трёхмерном $E^3$). Репер задаётся следующим образом: в первую вершину помещается начало, в остальные вершины направляются векторы репераШаблон:Sfn.

Предложение 1. Два порядка вершин симплекса задают одну ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановкуШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Ориентированный симплекс — симплекс с фиксированным порядком вершин с точностью до чётной перестановкиШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Индуцированная ориентация — ориентация произвольной $(n-1)$-грани $n$-мерного ориентированного симплекса, причём в случае, когда первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительныйШаблон:Sfn.

Хиральность

Правило левой руки и правило правой руки

Хира́льность (Шаблон:Lang-en, от др.-греч. χείρ — рука) — свойство геометрической фигуры, состоящее в отсутствии её совместимости со своей идеальной зеркальной копиейШаблон:SfnШаблон:Sfn. Другими словами, хиральность — отсутствие зеркальной симметрии у геометрической фигурыШаблон:Sfn.

Ахиральность — наличие зеркальной симметрии у геометрической фигурыШаблон:Sfn.

Произвольный невырожденный неравнобедренный треугольник — одна из простейших хиральных фигур на плоскости. Такой треугольник нельзя наложить на его зеркально симметричное изображение посредством комбинацией параллельных переносов и поворотов плоскости. Произвольный равнобедренный треугольник ахирален на плоскостиШаблон:Sfn.

Однако хиральные треугольники на плоскости ахиральны в трёхмерном пространстве, поскольку всегда существует комбинация параллельного переноса и поворота трёхмерного пространства, идеально накладывающие треугольник на его зеркально симметричное изображение в плоскостиШаблон:Sfn.

Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово «энантиоморф» происходит от Шаблон:Lang-grc (энантиос) — «противоположный», и Шаблон:Lang-grc2 (морфе) — «форма». Нехиральный объект также называется амфихиральным.

Винтовая линия (а также витая пряжа, штопор, пропеллер и т. п.) и лента Мёбиуса — это трёхмерные хиральные объекты. Фигурки тетрамино в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «Тетрис» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.

Некоторым хиральным объектам, таким как винт, можно приписать правую (левую) ориентацию, в соответствии с правилом правой руки (правилом левой руки).

Ориентированное многообразие

Ориентируемое связное многообразие

Рассмотрим координатную систему связного многообразия — атлас, то есть набор карт, покрывающих многообразие $M$Шаблон:Sfn.

Ориентирующий атлас — атлас многообразия, для которого все координатные преобразования положительны. Другими словами, степени координатных преобразований равны $+1$, а если многообразие дифференцируемо, то положительны якобианы преобразования во всех точкахШаблон:Sfn.

Ориентируемое многообразие — многообразие $M$ с ориентирующим атласомШаблон:Sfn.

Ориентация связного многообразия

Рассмотрим ориентируемое многообразие. Все его ориентирующие атласы распадаются на два класса ориентации, следовательно, переход от карт одного атласа к картам другого положителен тогда и только тогда, когда оба атласа принадлежат одному классу ориентацииШаблон:Sfn.

Ориентация многообразия — выбор одного из двух ориентирующих классовШаблон:Sfn.

Выбор ориентации многообразия осуществляется также ещё двумя способамиШаблон:Sfn:

• выбором одной из карт одного из ориентирующих классов;
• выбором локальной ориентации в точке $x_0$, поскольку связные карты, содержащие точку $x_0$, естественным образом также распадаются на два ориентирующих класса.

Кроме того, для дифференцируемого многообразия локальная ориентация определяется выбором репера в касательной плоскости в точке $x_0$. Например, вращение на окружности определяется только одним касательным векторомШаблон:Sfn.

Ориентация края связного многообразия

Если связное ориентированное многообразие $M$ имеет край, то этот край также ориентируемШаблон:Sfn.

Ориентирующий репер края многообразия — второй и последующие векторы репера, ориентирующего многообразие, которые лежат в касательной плоскости края, при первом векторе репера, направленном из края $\partial M$ во внешнее многообразиеШаблон:Sfn.

Дезориентирующий контур

Любой путь $q:[0,1]\to M$ в многообразии $M$ обладает тем свойством, что вдоль него можно выбрать такую цепочку карт, что две соседние карты связаны положительно. Следовательно, ориентация в точке $q(0)$ посредством цепочки карт определяет ориентацию в точке $q(1)$, причём эта связь зависит от пути $q$ с фиксированными концами лишь с точностью до его непрерывной деформации. Для замкнутого пути $q(0)=q(1)=x_0$Шаблон:Sfn.

Дезориентирующий путь, или контурШаблон:Sfn, — замкнутый путь в многообразии, при обходе которого локальная ориентация меняет знак, то есть ориентации в начальной точке $q(0)$ пути и в конечной $q(1)$ противоположныШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Неориентируемое, или одностороннее, многообразие — многообразие, в котором существует дезориентирующий путьШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентирующее накрытие

Для дезориентирующего пути однозначно определён некоторый гомоморфизм фундаментальной группы ${\pi }_1(M,x_0)$ многообразия $M$ на кольцо вычетов по модулю 2 порядка 2 ${\mathbb{Z}}_2$ с ядром, состоящим из классов замкнутых не дезориентирующих путей, другими словами, гомоморфизм ${\pi }_1(M,x_0)$ в группу порядка 2, при котором дезориентирующие пути переходят в $-1$, а остальные замкнутые пути — в $+1$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Файл:Orientation cover of Mobius strip.webm

Предложение 1. Накрывающее пространство накрытия, построенного по описанному гомоморфизму, ориентируемоШаблон:Sfn.

Ориентирующее накрытие — накрытие, имеющее ориентируемое нарывающее пространство. В случае неориентируемого многообразия это накрытие Шаблон:Iw (см. анимацию справа с двулистным накрытие листа Мёбиуса)Шаблон:Sfn.

Ориентирующий цикл

Этот же гомоморфизм из предыдущего раздела определяет над многообразием $M$ одномерное расслоение, тривиальное тогда и только тогда, когда $M$ ориентируемоШаблон:Sfn.

Для дифференцируемого многообразия $M$ это одномерное расслоение определяется как расслоение ${\mathrm{\Omega }}^n(M)$ дифференциальных форм порядка $n=\dim M$. Это расслоение имеет ненулевое сечение только в ориентируемом случае и при этом задаёт как форму объёма на $M$, так и ориентациюШаблон:Sfn.

Отображение $k:M\to ℝP^n$ многообразия $M$ в $n$-мерное вещественное проективное пространство есть классифицирующее отображение этого одномерного расслоенияШаблон:Sfn.

Предложение 1. Многообразие $M$ ориентируемо тогда и только тогда, когда класс $\mu \in H^{n-1}(M,\mathbb{Z})$ не равен нулю. Этот класс есть образ класса, двойственного к гиперплоскости $ℝP^{n-1}\subset ℝP^n$, то есть двойственного циклу с многообразием-носителем — прообразом гиперплоскости $ℝP^{n-1}$ при отображении $k$, которое приведено в общее положениеШаблон:Sfn.

Ориентирующий цикл — цикл из предложения 1, поскольку дополнение к нему ориентируемо: если по этому циклу разрезать многообразие $M$, то полученное подмногообразие будет ориентируемымШаблон:Sfn.

Предложение 2. Многообразие $M$ ориентируемо (неориентируемо) тогда и только тогда, когда после разреза по циклу возникает (не возникает) несвязное подмногообразиеШаблон:Sfn.

Например, ориентирующий цикл на проективной плоскости $ℝP^2$ — проективная прямая $ℝP^1$Шаблон:Sfn.

Ориентированное псевдомногообразие

Ориентированное псевдомногообразие, то есть ориентированное триангулированное многообразие $M$, — псевдомногообразие, у которого все его $n$-мерные симплексы ориентированы таким образом, что любые два симплекса с общей $(n-1)$-мерной гранью индуцируют на этой грани противоположные ориентацииШаблон:Sfn.

Дезориентирующая замкнутая цепочка $n$-мерных симплексов — замкнутая цепочка $n$-мерных симплексов такая, чтоШаблон:Sfn:

• у любых двух соседей цепочки имеется общая $(n-1)$-мерная грань;
• симплексы цепочки ориентированы следующим образом:

• ориентации, индуцированные первым и последним симплексами на их общей грани, совпадают;
• ориентации, индуцированные остальными соседями на их общих гранях, противоположны.

Гомологическая интерпретация ориентации

Ориентацию можно определить на гомологическом языке. Рассмотрим два типа многообразий $M$:

• связное ориентируемое многообразие $M$ без края имеет группу гомологий $H_n(M,\mathbb{Z})$ (с замкнутыми носителями), которая изоморфна $\mathbb{Z}$.
• связное ориентируемое многообразие $M$ с краем $\partial M$ имеет изоморфную $\mathbb{Z}$ группу гомологий $H_n(M,\partial M,\mathbb{Z})$Шаблон:Sfn.

Ориентация многообразия — выбор одной из двух систем образующих группы гомологий, при котором отбираются покрывающие многообразие $M$ карты с положительными степенями отображенийШаблон:Sfn.

Ориентируемость есть гомотопический инвариантШаблон:Sfn:

• для многообразия без края — многообразия $M$;
• для многообразия с краем — пары из многообразия и его границы $(M,\partial M)$.

Например, лист Мёбиуса и кольцо имеют одинаковый абсолютный гомотопический тип, но относительно края — разныйШаблон:Sfn.

Локальная ориентация многообразия задаётся также выбором системы образующих в группе $H_n(M,M\mathrm{\setminus }{x}_0;\mathbb{Z})$, также изоморфной $\mathbb{Z}$Шаблон:Sfn.

Такая гомологическая интерпретация понятия ориентации позволяет перенести его на обобщённые гомологические многообразияШаблон:Sfn.

Ориентированное расслоение

Рассмотрим расслоение $p:E\to X$ со стандартным слоем $F^n$ над топологическим пространством $X$Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Ориентированное расслоение — расслоение, ориентация всех слоев которого такова, что любое (собственное) отображение $p^{-1}(\gamma (0))\to p^{-1}(\gamma (1))$, определённое однозначно с точностью до собственной гомотопии с помощью пути $\gamma :(0,1)\to X$, сохраняет ориентациюШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Ориентация расслоения — выбор ориентации слоёв ориентированного расслоенияШаблон:Sfn.

Приведём два примераШаблон:Sfn:

• лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не ориентируем;
• боковая поверхность цилиндра ориентируема.

Ориентация бесконечномерного многообразия

Шаблон:Якорь Ориентации естественном образом обобщается на бесконечномерное многообразие, которое можно смоделировать двумя способами при помощи двух моделирующих пространствШаблон:Sfn:

• бесконечномерного банахова пространства,
• топологического векторного пространства.

При таком подходе требуются ввести следующие некоторые ограничения на линейные операторы — дифференциалы функций перехода от карты к картеШаблон:Sfn:

• принадлежности эти линейных операторов общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая в равномерной топологии гомотопически тривиальна для большинства классических векторных пространств, недостаточно;
• линейные операторы должны также содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы.

Шаблон:Якорь Ориентация бесконечномерного многообразия — задание «знака ориентации», то есть компоненты связности линейно несвязной подгруппы, в которой содержатся дифференциалы функций перехода от карты к картеШаблон:Sfn.

Как правило, такая линейно несвязная подгруппа есть фредгольмова группа, которая состоит из таких изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом — вполне непрерывный операторШаблон:Sfn.

Ориентация в обобщенных теориях когомологий

Обозначим через $E^{*}$ мультипликативную обобщённую теорию когомологий. В $E^{*}$ присутствует единица $1\in \tilde{E}{\phantom{E}}^0(S^0)$, которой соответствует элемент ${\gamma }_n\in \tilde{E}{\phantom{E}}^n(S^n)$ при изоморфизме надстройки $\tilde{E}{\phantom{E}}^0(S^0)\approx \tilde{E}{\phantom{E}}^n(S^n)$, где $S^n$ — $n$-мерная сфераШаблон:Sfn.

E-ориентированное векторное расслоение

Рассмотрим $n$-мерное векторное расслоение $\xi$ над линейно связным пространством $X$ с двумя следующими структурамиШаблон:Sfn:

• Шаблон:Iw $T\xi$ расслоения $\xi$;
• стандартным вложением $i:S^n\to T\xi$, то есть гомеоморфизмом на «слой» над некоторой точкой $x_0\in X$.

Ориентация, или Шаблон:Iw, расслоения $\xi$ — элемент $u\in \tilde{E}{\phantom{E}}^n(T\xi )$, причём $i^{*}(u)=\epsilon {\gamma }_n$, где $\epsilon \in \tilde{E}{\phantom{E}}^0(S^0)$ есть некоторый обратимый элемент (например, $\epsilon =1$)Шаблон:Sfn.

$E$-ориентируемое расслоение, или расслоение, ориентируемое мультипликативной обобщенной теории когомологий, — расслоение, имеющее ориентациюШаблон:Sfn.

$E$-ориентированное расслоение — расслоение с фиксированной ориентациейШаблон:Sfn.

• Шаблон:Iw — изоморфизм $\tilde{E}{\phantom{E}}^{*}(T\xi )\approx E^{*}(X)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предложение 1. Следующие две структуры находятся во взаимно однозначном соответствииШаблон:Sfn:

• множество ориентации рассматриваемого $E$-ориентированного расслоения $\xi$ над $X$;
• элементы группы $\tilde{E}{\phantom{E}}^0(X)\oplus (\tilde{E}{\phantom{E}}^0(S^0){)}^{*}$, где $({)}^{*}$ — группа обратных элементов кольца $()$.

Предложение 2. Тривиальное $n$-мерное векторное расслоение ${\theta }^n$ ориентируемо в любой мультипликативной обобщенной теории когомологий, и если из трёх расслоений $\xi$, $\eta$ и $\xi \oplus \eta$ два $E$-ориентируемы, то тогда $E$-ориентируемо и третье расслоение. В частности, из $E$-ориентируемости расслоения $\xi$ следует $E$-ориентируемость расслоения $\xi \oplus {\theta }^n$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

E-ориентированное сферическое расслоение

На любое расслоение Гуревича $p:E\to B$ со слоем, гомотопически эквивалентным сфере, вполне переносится понятие $E$-ориентируемостиШаблон:Sfn.

Шаблон:Iw расслоения Гуревича — Шаблон:Iw $p:E\to B$Шаблон:Sfn.

В остальном определение $E$-ориентированного расслоения Гуревича аналогично определению обычного $E$-ориентированного расслоения $\xi$Шаблон:Sfn.

Предложение 1. Обычное $E$-ориентированное расслоение $\xi$ можно свести к $E$-ориентированному расслоению Гуревича следующим образомШаблон:Sfn:

• в качестве $E$ берётся ассоциированное с $\xi$ расслоение на сферы, единичные в некоторой римановой метрике на $\xi$.

Предложение 2. $E$-ориентируемость — это инвариант стационарного послойного гомотопического типа векторного (Шаблон:Iw) расслоенияШаблон:Sfn.

Предложение 3. Расслоение, ориентируемое в одной мультипликативной обобщённой теории когомологий, может быть неориентируемым в другой, при этом из $E$-ориентируемости следует $F$-ориентируемость, если существует кольцевой гомоморфизм мультипликативных обобщённых теорий когомологий $E^{*}\to F^{*}$Шаблон:Sfn.

Примеры E-ориентированных расслоений

Пример 1. Любое векторное (сферическое) расслоение ориентируемо в мультипликативной обобщённой теории когомологий $H^{*}(-;{\mathbb{Z}}_2)$Шаблон:Sfn.

Пример 2. В мультипликативной обобщённой теории когомологий $H^{*}(-;\mathbb{Z})$ ориентируемы только расслоения $\xi$ с характеристическим классом Штифеля — Уитни $w_1(\xi )=0$, другими словами, расслоения могут быть ориентируемы только в классическом смыслеШаблон:Sfn.

Пример 3. К-ориентируемость бывает двух видовШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• К-ориентируемость векторного расслоения $\xi$ эквивалентна следующим условиям:

• в вещественной К-теории $w_1(\xi )=w_2(\xi )=0$;
• в комплексной К-теории $w_1(\xi )=0$ и $w_2(\xi )$ — целочисленный элемент;

• К-ориентируемость сферического расслоения имеет эти условия необходимыми, но не достаточными.

Пример 4. $U$-ориентируемость в теории унитарных кобордизмов $U^{*}$ не охарактеризована (1983). В частности, комплексные расслоения $U$-ориентируемы, но это явно не необходимоШаблон:Sfn.

Пример 5. В теории ${\mathrm{\Pi }}^{*}$ Шаблон:Iw ориентируемы только те расслоения, которые имеют тривиальный стационарный (стабильный) послойный гомотопический типШаблон:Sfn.

Описание классов E-ориентируемых расслоений

Классификация E-ориентируемых расслоений

Рассмотрим некоторую мультипликативную обобщённую теорию когомологий. Задача состоит в том, чтобы описать класс расслоений, ориентируемых в данной теории. Получен следующий общий результатШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предложение 1. Пусть некоторая топологическая группа $G$ действует на вещественном пространстве ${ℝ}^n$ и пусть $E^{*}$ — некоторая мультипликативная обобщённая теория когомологий. Тогда существует такое пространство $B(G,E)$, котороеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• имеет универсальное $E$-ориентированное расслоение над ним;
• классифицирует $E$-ориентированные векторные расслоения со структурной группой $G$.

Другими словами, такая классификация означает. что для произвольного линейно связного пространства $X$ в естественном взаимно однозначном соответствии находятсяШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• множество $E$-ориентированных $G$-векторных расслоений над пространством $X$;
• множество $[X,B(G,E)]$ гомотопических классов отображений $X\to B(G,E)$.

Предложение 2. Предложение 1 также справедливо как для сферических расслоений, так и для «хороших» моноидов $G$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Классификация мультипликативных обобщённых теорий когомологий

Задача, обратная задаче классификации $E$-ориентируемых расслоений, состоит в том, чтобы описать мультипликативную обобщённую теорию когомологий, в которой данное расслоение ориентируемоШаблон:Sfn.

Предложение 1. Пусть в мультипликативной обобщённой теории когомологий $E^{*}$ все векторные расслоения ориентируемы. Тогда имеет место изоморфизм

$E^{*}(X)\approx H^{*}(X;\tilde{E}(S^0)),$

где $2E^{*}(S^0)=0$Шаблон:Sfn.

В таком контексте классификации можно ослаблять условия на мультипликативную обобщённую теорию когомологий $E^{*}$, например, предполагать умножение некоммутативнымШаблон:Sfn.

Предложение 2. Пусть в мультипликативной обобщённой теории когомологий $E^{*}$ все комплексные расслоения ориентируемы. ТогдаШаблон:Sfn:

• имеет место гомоморфизм $U^{*}\to E^{*}$, где $U^{*}$ — теория унитарных кобордизмов;
• указанный гомоморфизм определяется $E$-ориентацией канонического расслоения $\eta$ над комплексным проективным пространством $ℂP^{\mathrm{\infty }}$.

Аналогичное предложение верно и для $S_p$-расслоений в теории кобордизмовШаблон:Sfn.

Рассмотрим произвольный класс векторных расслоений. Построение для него такой универсальной мультипликативной обобщённой теории когомологий, которая способна отображаться в произвольную мультипликативную обобщённую теорию когомологий, где ориентируем данный класс расслоений, ещё (1983) не осуществленоШаблон:Sfn.

Фундаментальный класс

Ориентация, или фундаментальный класс, замкнутого $n$-мерного многообразия (более общо — Шаблон:Iw формальной размерности $n$) в мультипликативной обобщённой теории когомологий $E^{*}$ — элемент $z\in E_n(M)$ такой, что гомоморфизм $E^i(M)\to E_{n-i}(M)$ вида $x\to z\cap x$ есть изоморфизм. Этот изоморфизм называется изоморфизмом двойственности ПуанкареШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предложение 1. Замкнутое $n$-мерное многообразие (более общо — комплекс Пуанкаре) $E$-ориентируемо тогда и только тогда, когда $E$-ориентируемо его нормальное расслоениеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аналогично можно определить ориентацию, или фундаментальный класс, для многообразий (комплексов Пуанкаре) с краемШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H