Общее положение

Конфигурация из пяти прямых общего положения.

О́бщее положе́ние — свойство, которое выполняется для почти для всех рассматриваемых объектов, при этом точное значение слова почти определяется из контекстаШаблон:Sfn.

Обычно этот термин применяется в следующих словосочетаниях: «объекты общего положения, имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведём объекты в общее положение». Типичный пример использования: «Рассмотрим $n$ прямых общего положения на плоскости, то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.» Заметим, что при необходимости условие общего положения можно усилить или ослабить, добавив например, что ни одна прямая не проходит через начало координат или убрав условие на параллельные прямыеШаблон:Sfn.

Также используется термин типичный объект, или объект общего положения, — объект, обладающий одним или несколькими «типичными свойствами» (какими именно — выясняется из контекста)Шаблон:Sfn.

Примеры использования

Два общих положения прямой и окружности

Следующий пример типичен для понятия «общее положение»Шаблон:Sfn. Прямая и окружность в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. Иначе говоря, почти всегда прямая либо проходит вне окружности, либо пересекает её в двух точках, и почти никогда её не касается. В количественных соотношениях, если на плоскости есть окружность и прямая, то имеется бесконечное количество прямых, параллельных данной прямой, которые либо проходят вне окружности, либо пересекают её в двух точках, и всего две параллельные прямые, которые касаются окружностиШаблон:Sfn.

Другой пример свойства общего положения: трансверсальность двух многообразий в объемлющем многообразии.Шаблон:Sfn.

Общее положение в пространстве набора точек — свойство $m$ точек в $n$-мерном аффинном пространстве, может заключаться в том, что никакие $k$ из них не лежат в подпространстве размерности $k-2$, где $k=2,3,\dots ,k+1$. В частности, точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямойШаблон:Sfn. Требование этого определения избыточно для большинства наборов. В частности, если $m⩾n+1$, то достаточно предположить, что никакой набор из $n+1$ точки не лежит в гиперплоскостиШаблон:Sfn.

Общее положение в трёхмерном пространстве двух прямых — прямые не пересекаются. Другими словами, вложение прямой в трёхмерное пространство трансверсально тогда и только тогда, когда прямые не пересекаютсяШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Функция Морса на гладком многообразии является гладкой функцией общего положения.Шаблон:Sfn.

Два подпространства. Рассмотрим вещественное линейное пространство и два его подпространства, сумма размерностей которых больше размерности исходного пространстваШаблон:Sfn.

Общее положение в линейном пространстве двух подпространств — алгебраическая сумма подпространств совпадет со всем пространствомШаблон:Sfn.

В частности, два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсальноШаблон:Sfn.

Варианты определений

В зависимости от контекста множество $𝔖$ всех рассматриваемых объектов имеет некоторую структуру, которая позволяет говорить о «малых», «пренебрежимых» или, наоборот, «больших», «массивных» подмножествах. В этом случае считается, что некоторое свойство $S$ общего положения, если обладающие им объекты образуют в $𝔖$ «большую» подсовокупностьШаблон:Sfn.

Совокупность $𝔖$, как правило, обладает одной из следующих структурШаблон:Sfn:

(1) алгебраического многообразия;

(2) гладкого многообразия (возможного, бесконечномерного);

(3) топологического пространства, чаще всего пространства второй категории Бэра, в частности полные метрические пространства.

(4) пространства с мерой.

В перечисленных случаях «малыми» подмножествами считаются соответственноШаблон:Sfn:

(1) алгебраические подмногообразия меньшей размерности;

(2) гладкие подмногообразия и их конечные или счётные объединения;

(3) нигде не плотные множества или множества первой категории Бэра;

(4) множества меры нуль.

Подмножество $𝔄\mathfrak{\subset }𝔖$ считается «большим», если дополнение к нему — «малое»Шаблон:Sfn.

Замечания

Типичное свойство, или свойство общего положения, — свойство $S$, которое выполняется почти для всех объектов из множества $𝔖$.Шаблон:Sfn.

В случаях (3) и (4) «большое» подмножество может означать соответственно подмножество второй категории Бэра в непустом открытом подмножестве пространства $𝔖$ или подмножество положительной меры. В этих случаях говорят, что «этим множеством объектов нельзя пренебречь», но уже не говорят о «типичности»Шаблон:Sfn.

Использование в разделах математики

Использование в геометрической топологии

В Шаблон:Iw, которая изучает как кусочно линейные, так и топологические многообразия и соответствующие классы отображений, термин «общее положение» используется почти исключительно как синоним термина «трансверсальность»Шаблон:Sfn.

Использование в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии несложные случаи, аналогичные прямой и окружности на плоскости, легко анализируются с помощью Шаблон:Iw, при этом основное поле произвольно (но обычно алгебраически замкнуто). В более сложных ситуациях имеются следующие теоремыШаблон:Sfn:

• две Шаблон:Iw;
• Шаблон:Iw.

Кроме того, при рассмотрении действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии большое значение имеют точки общего положенияШаблон:Sfn.

Использование в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений

Шаблон:ЯкорьШаблон:Якорь Понятие общего положения применяется очень широко в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений. При доказательстве результатов обычно используются следующие теоремы об общем положении, или теоремы о трансверсальной регулярностиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• теорема СардаШаблон:Sfn;
• Шаблон:IwШаблон:Sfn.

Указанная теорема Сарда при бесконечной размерности не верна, но этот недостаток компенсируется более слабыми результатамиШаблон:Sfn.

Использование в теории гладких динамических систем

Несколько теорем о «типичных» свойствах есть в в теории гладких динамических систем. Как правило, эти теоремы доказываются при помощи теоремы Сарда, особенно в Шаблон:Iw. Есть немногочисленные положительные результаты, не связанные с этой редукциейШаблон:Sfn.

Существенная особенность теории гладких динамических систем — это существенное различие понятия общего положения в топологическом и метрическом смысле, соответственно случаи (3) и (4)Шаблон:Sfn.

Использование в дифференциальной геометрии многообразий

Понятие общего положения используется также в дифференциальной геометрии многообразийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Типичное свойство римановой метрики — множество римановых метрик, удовлетворяющих этому свойству, остаточноШаблон:Sfn.

Предложение. Следующее свойство типичноШаблон:Sfn:

• отображение Пуанкаре для периодической траектории геодезического потока либо гиперболическое, либо закручивающее.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H