Алгебраически замкнутое поле

Шаблон:Другие значения термина Алгебраически замкнутое поле — поле $𝕂$, в котором всякий многочлен ненулевой степени над $𝕂$ имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора: существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.

Свойства

• В алгебраически замкнутом поле $𝕂$ каждый многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ (с учётом кратности) корней в $𝕂$. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов $𝕂[x]$ имеет степень $1$. См. также теорема Безу.
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен $x^m-x$, где $m$ — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить $1$, то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля $𝕂$ в его расширении ${𝕂}^{\prime }$ называется поле всех алгебраических над $𝕂$ элементов ${𝕂}^{\prime }$. Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
• Алгебраическим замыканием конечного поля ${𝔽}_{p^k}$ является поле ${𝔽}_{p^{\mathrm{\infty }}}$.
• Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей $𝕂(X)$ называется полем алгебраических функций. Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Конструкция

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле $𝕂$. Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим $F\subset 𝕂[x]$ как множество всех неприводимых многочленов над полем $𝕂$. Каждому многочлену поставим в соответствие переменную $x_f$. Обозначим за $X$ множество всех таких переменных $X=\{x_f|f\in F\}$. Образуем кольцо многочленов $𝕂[X]$. Можно показать, что идеал $I$, порождённый всеми многочленами вида $f(x_f)$, не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу $I^{\prime }$, содержающему идеал $I$ (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле ${𝕂}_{\mathrm{𝟙}}=𝕂[X]/I^{\prime }$. Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем $𝕂\subset {𝕂}_{\mathrm{𝟙}}$.

На поле ${𝕂}_{\mathrm{𝟙}}$ можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю $𝕂$ по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля ${𝕂}_{\mathrm{𝟙}}$ и получим поле ${𝕂}_{\mathrm{𝟚}}$. Повторяя это $n$ раз можно получить поле ${𝕂}_{𝕟}$. Таким образом, мы имеем башню полей:

$𝕂\subset {𝕂}_{\mathrm{𝟙}}\subset {𝕂}_{\mathrm{𝟚}}\subset \dots \subset {𝕂}_{𝕟}\subset {𝕂}_{𝕟\mathbb{+}\mathrm{𝟙}}\subset \dots$

Объединение всех этих полей даст поле ${𝕂}_{\mathrm{\infty }}=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{𝕂}_{𝕟}$. Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.

См. также

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)

Примечания

Шаблон:Algebra-stub Шаблон:Нет ссылок