Геометрическая фигура

Фигуры на плоскости.

Фигу́ра (Шаблон:Lang-la — внешний вид, образ) (Шаблон:Lang-en) — геометрический термин, формально применимый к произвольному множеству точек. Обычно это конечное число точек, линий или поверхностей, в том числе и в единственном числе: точка, линия или поверхностьШаблон:Sfn.

Общие определения

Фигу́ра — любое множество точек. Точка — элемент пространства. Пространство — пара множествШаблон:Sfn:

• множество $M$ произвольных элементов;
• некоторая группа $G$ преобразований множества $M$.

Эквивалентные фигуры. Геометрия группы

Фигура $A$ эквивалентна, или равна, фигуре $B$, если в группе $G$ имеется преобразование, переводящее $A$ в $B$. Группа преобразований необходима для того, чтобы выполнялись симметричность и транзитивность свойства эквивалентности фигур, без чего понятие эквивалентности не имеет смысла. Другими словами, использование группы преобразований делает истинными следующие два утвержденияШаблон:Sfn:

• если фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$, то тогда и $B$ эквивалентна $A$, другими словами, $A$ и $B$ эквивалентны;

• если две фигуры $A$ и $B$ эквивалентны третьей $C$, то тогда $A$ и $B$ эквивалентны.

Свойства и арифметические характеристики фигур пространства $M$ называются, согласно автору Эрлангенской программы Феликсу Клейну, геометрическими, если они не изменяются при любых преобразованиях группы $G$, другими словами, если они одинаковы для эквивалентных фигур. Геометрией группы $G$ называется система утверждений о геометрических свойствах и арифметических характеристиках фигурШаблон:Sfn.

Группы автоморфизмов

Автоморфным преобразованием, или автоморфизмом, относительно некоторой фигуры $U$ произвольного пространства $M$ с какой-нибудь группой преобразований $G$ называется такое преобразование группы $G$, которое переводит в самоё себя (то есть отображает на себя) эту фигуру $U$. Автоморфизм перемещает любую точку фигуры $U$ снова в некоторую точку этой фигуры, в частности, в ту же самую точкуШаблон:Sfn.

Особенности группы преобразований делает истинными следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ есть группа — подгруппа группы $G$.

Фигуры на плоскости

Обычно фигурой на плоскости называют замкнутые множества, которые ограничены конечным числом линий. При этом допускаются вырождения, например: угол, луч и точка считаются геометрическими фигурами.

Если все точки фигуры лежат в некоторой плоскости — она называется плоской и она может быть задана уравнением $g(x,y)=0$.

Порядок (степень) фигуры — это порядок (степень) уравнения, которым она задана.

Фигуры в (трёхмерном) пространстве

Если Φ — фигура, состоящая из всех точек (трёхмерного) пространства, удовлетворяющих уравнению $f(x,y,z)=0$, то данное уравнение — уравнение фигуры, оно задаёт фигуру Φ.

См. также

• Тело (геометрия)

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H