Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координат

Прямая задана уравнением

Когда прямая на плоскости задана уравнением Шаблон:Nowrap, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x₀,y₀) равно Шаблон:Sfn

$\mathrm{distance}(ax+by+c=0,(x_0,y_0))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Точка на прямой, наиболее близкая к (x₀,y₀), имеет координаты Шаблон:Sfn

$x=\frac{b(b{x}_0-a{y}_0)-ac}{a^2+b^2}$ и $y=\frac{a(-b{x}_0+a{y}_0)-bc}{a^2+b^2}.$

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b Шаблон:Math 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x₀, y₀) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y₀ — (-c/b)| = |by₀ + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax₀ + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

$x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0$

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на $\sqrt{a^2+b^2}$. Тогда расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$|d|=|x_0\cos \alpha +y_0\sin \alpha -p|$

Прямая задана двумя точками

Если прямая проходит через две точки P₁=(x₁,y₁) и P₂=(x₂,y₂), и необходимо найти расстояние от $M=(x_0,y_0)$ до прямой, то можно воспользоваться следующими способами:

Способ 1. Искомое расстояние равно

$\mathrm{distance}(P_1,P_2,(x_0,y_0))=\frac{|(y_2-y_1)x_0-(x_2-x_1)y_0+x_2{y}_1-y_2{x}_1|}{\sqrt{(y_2-y_1{)}^2+(x_2-x_1{)}^2}}.$

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P₁ и P₂. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x₀,y₀), P₁ и P₂ (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно $h=\frac{2A}{b}$, что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: $A=\frac{1}{2}bh$, где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Способ 2. Сначала находится ближайшая точка на прямой к точке $M$ по формуле

$M_p=P_1+\overrightarrow{P_1{P}_2}*\frac{(\overrightarrow{P_1{P}_2},\overrightarrow{P_{1}M})}{\Vert \overrightarrow{P_1{P}_2}{\Vert }^2}$.

Тогда искомое расстояние равно

$\mathrm{distance}(P_1,P_2,M)=\Vert \overrightarrow{M{M}_p}\Vert$.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x₀, y₀). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

$\frac{y_0-n}{x_0-m}=\frac{b}{a}.$

Таким образом, $a(y_0-n)-b(x_0-m)=0,$ и после возведения в квадрат получим:

$a^2(y_0-n{)}^2+b^2(x_0-m{)}^2-2ab(y_0-n)(x_0-m)=0.$

Рассмотрим,

$(a(x_0-m)+b(y_0-n){)}^2=a^2(x_0-m{)}^2+2ab(y_0-n)(x_0-m)+b^2(y_0-n{)}^2=(a^2+b^2)((x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2)$

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

$(a(x_0-m)+b(y_0-n){)}^2=(a{x}_0+b{y}_0-am-bn{)}^2=(a{x}_0+b{y}_0+c{)}^2$,

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

$(a^2+b^2)((x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2)=(a{x}_0+b{y}_0+c{)}^2$

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

$d=\sqrt{(x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ Шаблон:Sfn.

Геометрическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и ДжербертШаблон:Sfn не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x₀, y₀) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая). Выпишем отношения сторон этих треугольников:

$\frac{|\overline{PR}|}{|\overline{PS}|}=\frac{|\overline{TV}|}{|\overline{TU}|}.$

Если точка S имеет координаты (x₀,m), то |PS| = |y₀ — m| и расстояние от P до прямой равно:

$|\overline{PR}|=\frac{|y_0-m||B|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

$m=\frac{-A{x}_0-C}{B},$

и получаем: Шаблон:Sfn

$|\overline{PR}|=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим $D|\overline{TU}|=|\overline{VU}||\overline{VT}|$, где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить $|\overline{TU}|$, $|\overline{VU}|$ и $|\overline{VT}|$в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектора

Рисунок доказательства с помощью проекции вектора

Пусть P — точка с координатами (x₀, y₀) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x₁, y₁) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции $\overrightarrow{QP}$ на n. Длина этой проекции равна:

$d=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot 𝐧|}{\Vert 𝐧\Vert }.$

Теперь

$\overrightarrow{QP}=(x_0-x_1,y_0-y_1),$ так что $\overrightarrow{QP}\cdot 𝐧=a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)$ и $\Vert 𝐧\Vert =\sqrt{a^2+b^2}.$

Тогда

$d=\frac{|a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Поскольку Q лежит на прямой, $c=-a{x}_1-b{y}_1$, а тогда Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Другие формулы

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами ($x_0,y_0$). Пусть прямая задана уравнением $y=mx+k$. Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением $y=\frac{x_0-x}{m}+y_0$.

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

$mx+k=\frac{x_0-x}{m}+y_0.$

Мы можем решить это уравнение по x,

$x=\frac{x_0+m{y}_0-mk}{m^2+1}.$

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

$y=m\frac{(x_0+m{y}_0-mk)}{m^2+1}+k.$

Подставив полученные значения в формулу расстояния $d=\sqrt{(X_2-X_1{)}^2+(Y_2-Y_1{)}^2}$, получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

$d=\sqrt{{\left(\frac{x_0+m{y}_0-mk}{m^2+1}-x_0\right)}^2+{\left(m\frac{x_0+m{y}_0-mk}{m^2+1}+k-y_0\right)}^2}.$

Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражениеШаблон:Sfn.

Формулировка с помощью векторов

Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

$𝐱=𝐚+t𝐧$,

где Шаблон:Math — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, Шаблон:Math — единичный вектор в направлении прямой, Шаблон:Math — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки Шаблон:Math на прямой начинаем с точки Шаблон:Math на прямой и двигаемся на расстояние Шаблон:Math вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки Шаблон:Math до прямой задаётся формулой

$\mathrm{distance}(𝐱=𝐚+t𝐧,𝐩)=\Vert (𝐚-𝐩)-((𝐚-𝐩)\cdot 𝐧)𝐧\Vert .$

Эта формула геометрически строится следующим образом: $𝐚-𝐩$ — это вектор из Шаблон:Math в точку Шаблон:Math на прямой. Тогда $(𝐚-𝐩)\cdot 𝐧$ — это длина проекции на прямую, а тогда

$((𝐚-𝐩)\cdot 𝐧)𝐧$

— это вектор, являющийся проекцией $𝐚-𝐩$ на прямую. Тогда

$(𝐚-𝐩)-((𝐚-𝐩)\cdot 𝐧)𝐧$

является компонентой вектора $𝐚-𝐩$, перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторов

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет Шаблон:Не переведено 5 $\overrightarrow{u}$, то расстояние от точки A до прямой (d) равно

$d(\mathrm{A},(d))=\frac{\Vert \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\wedge \overrightarrow{u}\Vert }{\Vert \overrightarrow{u}\Vert }$,

где $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\wedge \overrightarrow{u}$ — векторное произведение векторов $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}$ и $\overrightarrow{u}$, а $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$ — норма вектора $\overrightarrow{u}$.

Ориентированное расстояние

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую с уравнением $Ax+By+C=0,$ где $C\ne 0$, то есть прямая не проходит через начало координат $O$, и произвольную точку $M_1(x_1,y_1)$. Тогда расстояние от точки до прямой равно следующему выражениюШаблон:Sfn:

$d=|\delta |=\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

Возможны три случаяШаблон:Sfn:

• знаки чисел $\delta$ и $C$ одинаковы. В этом случае точки $M_1$ и $O$ находятся по одну сторону от данной прямой;
• знаки чисел $\delta$ и $C$ противоположны. В этом случае точки $M_1$ и $O$ находятся по разные стороны от данной прямой;
• $\delta =0$, то есть $A{x}_1+B{y}_1+C=0$. В этом случае точка $M_1$ принадлежит данной прямой.

Ориентированное расстояние от точки до прямой — число

$\delta =\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}},$

полученное из координат точки $M_1(x_1,y_1)$ и прямой $Ax+By+C=0$, $C\ne 0$Шаблон:Sfn.

Обобщения

• Расстояние от точки в трёхмерном пространстве до плоскости задаётся аналогичной формулой:

$\mathrm{distance}(ax+by+cz+d=0,(x_0,y_0,z_0))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Расстояние между двумя прямыми
• Расстояние между скрещивающимися прямыми

Источники

• Шаблон:H

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Дополнительная литература

• Шаблон:Книга — P. 86.