Фредгольмов оператор

Шаблон:Проверить факты Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор $T:X\to Y$ называют фредгольмовым, если

• $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\ker T<\mathrm{\infty }$,
• $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T<\mathrm{\infty }$.

Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.

Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.

Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.

Индекс фредгольмова оператора

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\ker T-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T$

Более того, для каждого конкретно заданного $n\in \mathbb{Z}$ существует фредгольмов оператор с индексом n.

Преобразования фредгольмовых операторов

• Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: $T\in 𝒩(X,Y)\iff T^{\text{'}}\in 𝒩(Y^{\text{'}},X^{\text{'}})$. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}{T}^{\text{'}}=-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T$
• Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}TS=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T+\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}S$ (теорема Аткинсона)
• Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора: $T\in 𝒩(X,Y),S\in 𝒦(X,Y)\Rightarrow T+S\in 𝒩(X,Y),\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(T+S)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T$
• Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть $\mathrm{\forall }T\in 𝒩(X,Y)\mathrm{\exists }\epsilon :\mathrm{\forall }S\in ℬ(X,Y),\Vert S\Vert ⩽\epsilon \Rightarrow T+S\in 𝒩(X,Y),\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(T+S)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T$. Иначе говоря, множество $𝒩(X,Y)$ является открытым в множестве $ℬ(X,Y)$ ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма

$K\in 𝒦(X,X)\Rightarrow ({\mathrm{I}}_{\mathrm{X}}-K)$ — фредгольмов (здесь ${\mathrm{I}}_{\mathrm{X}}$ — тождественный оператор на X).

Критерии фредгольмовости

• Критерий Нётера: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
• Критерий Никольского: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: $𝒩(X,Y)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(X,Y)+𝒦(X,Y)$, где $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(X,Y)$ — множество обратимых линейных операторов.

Литература

• Шаблон:Книга.