Параметрическое представление

Пример параметрической кривой.

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость $y$ от $x$ задана не непосредственно как $y=f(x),$ а через промежуточную величину $t.$

Тогда формулы:

$x=\phi (t);$$y=\psi (t)$

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции $\phi$ и $\psi$ имеют производные и для $\phi$ существует обратная функция $\theta ,$ явное представление функции выражается через параметрическое как:

$y=\psi [\theta (x)]=f(x)$

и производная функции $y(x)$ может быть вычислена как:

$y^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{y{\text{'}}_t}{x{\text{'}}_t}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}.$

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно или невозможно через элементарные функции.

Параметрическое представление уравнения

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Параметрическое уравнение

Близкое понятие — параметрическое уравнение множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.

$x=x(t);y=y(t)$ (кривая на плоскости),

$x=x(t);y=y(t);z=z(t)$ (кривая в 3-мерном пространстве),

Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.

Примеры

Уравнение окружности имеет вид:

$x^2+y^2=r^2.$

Параметрическое уравнение окружности:

$x=r\cos t;$ $y=r\sin t;0\le t<2\pi$

Гипербола описывается следующим уравнением:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :

$x=a\mathrm{ch}t$$;y=b\mathrm{sh}t;-\mathrm{\infty }<t<+\mathrm{\infty }$

См. также

• Параметрическое задание поверхности

Ссылки

• Параметрическое задание кривой. Лекции по математическому анализу
• Лекции по математическому анализу. доцент кафедры математического анализа Иркутского госуниверситета Романова О. А.