Матрица перехода

Шаблон:Стиль статьи В линейной алгебре базис векторного пространства размерности $n$ — это последовательность из $n$ векторов $({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$, таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода, или замены.

Определение

Если векторы ${𝐛}_{\mathrm{𝟏}},\cdots ,{𝐛}_{𝐧}$ выражаются через векторы ${𝐚}_{\mathrm{𝟏}},\cdots ,{𝐚}_{𝐧}$ как:

${𝐛}_1={\alpha }_{11}{𝐚}_1+{\alpha }_{21}{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_{n1}{𝐚}_n$.

${𝐛}_2={\alpha }_{12}{𝐚}_1+{\alpha }_{22}{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_{n2}{𝐚}_n$.

$\dots$.

${𝐛}_n={\alpha }_{1n}{𝐚}_1+{\alpha }_{2n}{𝐚}_2+\dots +{\alpha }_{nn}{𝐚}_n$.

то матрица перехода от базиса $({𝐚}_{\mathrm{𝟏}},\cdots ,{𝐚}_{𝐧})$ к базису $({𝐛}_{\mathrm{𝟏}},\cdots ,{𝐛}_{𝐧}$) будет:

$\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& ...& {\alpha }_{1n}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& ...& {\alpha }_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\alpha }_{n1}& {\alpha }_{n2}& ...& {\alpha }_{nn}\end{array}\right)$

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису $a_1,a_2,\dots ,a_n$, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис $b_1,b_2,\dots ,b_n$.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	$\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cccc}a& 0& 0& 0\\ 0& b& 0& 0\\ 0& 0& c& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
Поворот При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке $\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	Относительно OX на угол φ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & -\sin \varphi & 0\\ 0& \sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$	Относительно OY на угол ψ $\left[\begin{array}{cccc}\cos \psi & 0& \sin \psi & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
	Против часовой стрелки $\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$		Относительно OZ на угол χ $\left[\begin{array}{cccc}\cos \chi & -\sin \chi & 0& 0\\ \sin \chi & \cos \chi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
Перемещение При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& c\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
• $P_{e\to e^{\prime }}^{-1}=P_{e^{\prime }\to e}$

Пример поиска матрицы

Найдём матрицу перехода от базиса $a_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right),a_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 2\end{array}\right),a_3=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ к единичному базису $b_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),b_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),b_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ путём элементарных преобразований

$\left(\begin{array}{cccccc}1& -1& 5& 1& 0& 0\\ 2& -4& 1& 0& 1& 0\\ -1& 2& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& -10& -19\\ 0& 1& 0& 1& -5& -9\\ 0& 0& 1& 0& 1& 2\end{array}\right)$ следовательно $P_{a\to b}=\left(\begin{array}{ccc}2& -10& -19\\ 1& -5& -9\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

См. также

• Цепи Маркова
• Стохастическая матрица
• Матрица поворота

Ссылки

• Матрицы перехода от базиса к базису