Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

Определения

• Матрица $P=(P_{ij}),i,j=1,2,\dots$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

$P_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }i,j=1,2,\dots$ и $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{ij}=1,\mathrm{\forall }i$.

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

$P_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }i,j=1,2,\dots$ и $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{ij}=1,\mathrm{\forall }j$.

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Свойства

• Если $P$ и $Q$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $R=PQ$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда $\sum _{i=1}^n{c}_{ij}=\sum _{i=1}^n(\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj})=\sum _{k=1}^n{b}_{kj}(\sum _{i=1}^n{a}_{ik})=\sum _{k=1}^n{b}_{kj}=1$ , поскольку матрицы A и B стохастические.

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица $P=(P_{ij}),i,j=1,\dots ,N$ называется Шаблон:Видимый якорь, если существует такое $n\in \mathbb{N}$, что

$p_{ij}^{(n)}>0,\mathrm{\forall }i,j=1,\dots ,N$,

где $p_{ij}^{(n)}$ — элементы $n$-ой степени матрицы $P$, то есть $P^n=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$.

Эргодическая теорема

Если $P$ — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор $𝝅=({\pi }_1,\dots ,{\pi }_N)$ такой, что

$P^n\to {\mathrm{𝟏}}^{\mathrm{\top }}𝝅$,

где $\mathrm{𝟏}=(1,\dots ,1)$ — вектор размерности $1\times N$, состоящий из единиц.