Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

Определения

Матрица $P = (P_{i j}), i, j = 1, 2, \dots$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

P_{i j} \geq 0, \forall i, j = 1, 2, \dots

и

\sum_{j = 1}^{\infty} P_{i j} = 1, \forall i

.

P_{i j} \geq 0, \forall i, j = 1, 2, \dots

и

\sum_{i = 1}^{\infty} P_{i j} = 1, \forall j

.

Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Если $P$ и $Q$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $R = P Q$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда $\sum_{i = 1}^{n} c_{i j} = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}) = \sum_{k = 1}^{n} b_{k j} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i k}) = \sum_{k = 1}^{n} b_{k j} = 1$ , поскольку матрицы A и B стохастические.

Конечная стохастическая матрица $P = (P_{i j}), i, j = 1, \dots, N$ называется Шаблон:Видимый якорь, если существует такое $n \in ℕ$ , что

p_{i j}^{(n)} > 0, \forall i, j = 1, \dots, N

,

где $p_{i j}^{(n)}$ — элементы $n$ -ой степени матрицы $P$ , то есть $P^{n} = (p_{i j}^{(n)})$ .

Если $P$ — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор $π = (π_{1}, \dots, π_{N})$ такой, что

P^{n} \to 𝟏^{⊤} π

,

где $𝟏 = (1, \dots, 1)$ — вектор размерности $1 \times N$ , состоящий из единиц.