Противоположное число

Противоположное число $n^{\prime }$ по отношению к числу $n$ — это число, которое при сложении с $n$ даёт ноль. Данное явление называется взаимным уничтожением слагаемых.

$n+n^{\prime }=0$

Для любого действительного (или комплексного) числа существует число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n^{\prime }=-n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$.

Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот. Существует лишь одно число, противоположное к которому совпадает с ним самим. Это число 0.

Не стоит путать термины «противоположное число» и «обратное число». Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равняется единице. Например, число, обратное к 7, это 1/7, а противоположное −7.

Противоположное к комплексному

Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Противоположное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\cos \phi +i\sin \phi )$	$-r(\cos \phi +i\sin \phi )$
Показательная	$r{e}^{i\phi }$	$-r{e}^{i\phi }$

Шаблон:Начало скрытого блока $z\in ℂ$ (комплексное число), $x=\mathrm{Re}(z)\in ℝ$ (действительная часть комплексного числа), $y=\mathrm{Im}(z)\in ℝ$ (мнимая часть комплексного числа), $i$ — мнимая единица, $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ (модуль комплексного числа), $\phi =\arg z=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$ (аргумент комплексного числа), $e$ — основание натурального логарифма. Шаблон:Конец скрытого блока

Противоположное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), противоположное и обратное числа к которым равны. Это $\pm i$.

Число	Равенство противоположного и обратного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
$i$	$-i=\frac{1}{i}$	$-i=i^{-1}$
$-i$	$i=-\frac{1}{i}$	$i=-i^{-1}$

Шаблон:Начало скрытого блока Покажем доказательство для $i$ (для $-i$ аналогично). Используем основное свойство дроби: $\frac{1}{i}=\frac{1\cdot i}{i\cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$ Таким образом, получаем $-i=\frac{1}{i}$__или__$-i=i^{-1}$ Аналогично для $-i$: __ $i=-\frac{1}{i}$ __ или __ $i=-i^{-1}$ Шаблон:Конец скрытого блока

См. также

• Обратное число