Класс Штифеля — Уитни

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению $E\to X$. Обычно обозначается через $w(E)$. Принимает значения в $H^{\ast }(X;{\mathbb{Z}}_2)$, кольце когомологий с коэффициентами в ${\mathbb{Z}}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Компонента $w(E)$ в $i$-х когомологиях $H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$ обозначается $w_i(E)$ и называется $i$-м классом Штифеля — Уитни расслоения $E$, так что

$w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\dots .$

Классы $w_i(E)$ являются препятствиями в $H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$ к построению $(n-i+1)$-го линейно независимого сечения $E$, ограниченного на $i$-й остов $X$.

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, $H^i(X;G)$ обозначает сингулярные когомологии пространства $X$ с коэффициентами в группе $G$.

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению $E$ элемент кольца гомологий $w(E)$ так, что выполняются следующие аксиомы:

1. Естественность: $w(f^{\ast }E)=f^{\ast }w(E)$ для любого расслоения $E\to X$ и отображения $f:X^{\prime }\to X$, где $f^{\ast }E$ обозначает соответствующее индуцированное расслоение над $X^{\prime }$.
2. $w_0(E)=1$ в $H^0(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $w_1({\gamma }^1)$ является образующей $H^1(ℝP^1;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (условие нормализации). Здесь ${\gamma }^1$ — это тавтологическое расслоение.
4. $w(E\oplus F)=w(E)⌣w(F)$ (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства $X$)

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни $w_i(E)$ были предложены Э. Штифелем и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению $(n-i+1)$-го линейно независимого сечения $E$, ограниченного на $i$-й остов $X$. (Здесь $n$ — размерность слоя $F$ расслоения $E$).

Более точно, если $X$ является CW-комплексом, Уитни определил классы $W_i(E)$ в $i$-й группе клеточных когомологий $X$ с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся $(i-1)$-я гомотопическая группа многообразия Штифеля $V_{n-i+1}(F)$ наборов из $n-i+1$ линейно независимого вектора в слое $F$. Уитни доказал, что для построенных им классов $W_i(E)=0$ тогда и только тогда, когда расслоение $E$, ограниченное на $i$-скелет $X$, имеет $n-i+1$ линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа ${\pi }_{i-1}{V}_{n-i+1}(F)$ многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна ${\mathbb{Z}}_2$, существует каноническая редукция классов $W_i(E)$ к классам $w_i(E)\in H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$, которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если ${\pi }_{i-1}{V}_{n-i+1}(F)={\mathbb{Z}}_2$, то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

• Если мы работаем на многообразии размерности $n$, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени $n$ может быть спарено с ${\mathbb{Z}}_2$-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент ${\mathbb{Z}}_2$; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие $w_1^3$, $w_1{w}_2$ и $w_3$. В общем случае, если многообразие $n$-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям $n$ в сумму целых слагаемых.
  • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
• Естественному отображению приведения по модулю два, $\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2$, соответствует гомоморфизм Бокштейна

  $\beta :H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)\to H^{i+1}(X;\mathbb{Z}).$

Образ класса $w_i$ под его действием, $\beta w_i\in H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$, называется $(i+1)$-м целым классом Штифеля — Уитни.

• В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}^C$-структуры.

Свойства

• Если расслоение $E^k$ имеет $s_1,\dots ,s_{\ell }$ сечений, линейно независимых над каждой точкой, то $w_{k-\ell +1}=\dots =w_k=0$.
• $w_i(E)=0$ при $i>\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(E)$.
• Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие $M$ ориентируемо тогда и только тогда, когда $w_1(TM)=0$.
• Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
• Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения $H^2(M,\mathbb{Z})\to H^2(M,{\mathbb{Z}}_2)$ (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}^C$-структуру.
• Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия $X$ обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — Шаблон:М: Мир, 1979. — 371 с.