Упорядоченное поле

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Определение

Пусть $F$ — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение $⩽$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: $x⩽x$.
2. Транзитивность: если $x⩽y$ и $y⩽z$, то $x⩽z$.
3. Антисимметричность: если $x⩽y$ и $y⩽x$, то $x=y$.
4. Линейность: все элементы $F$ сравнимы между собой, то есть либо $x⩽y$, либо $y⩽x$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

5. Если $x⩽y$, то для любого z: $x+z⩽y+z$.
6. Если $0⩽x$ и $0⩽y$, то $0⩽xy$.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле $F$ называется упорядоченным.

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: $x⩾y$ означает, что $y⩽x$.

Отношение больше: $x>y$ означает, что $x⩾y$ и $x\ne y$.

Отношение меньше: $x<y$ означает, что $y>x$.

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину $|x|$ элемента $x$ как $max(x,-x)$.

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества $P$, ноль и $-P$ не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим $P_0=P\cup \{0\}$ (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

$x⩽y$, если $y-x\in P_0$

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если $x$ положителен, то $-x$ отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле $1>0$ и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если $x⩽y$ и $x^{\prime }⩽y^{\prime }$, то $x+x^{\prime }⩽y+y^{\prime }$.

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если $x⩽y$ и $c⩾0$, то $cx⩽cy$.

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида $a+b\sqrt{2}$, где $a,b$ — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» $P$ те числа $a+b\sqrt{2}$, для которых $a>b\sqrt{2}$. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполненыШаблон:Sfn.

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • В частности, конечное поле не допускает порядка.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда оно вещественно, то есть $-1$ не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
• Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовымШаблон:Sfn. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел $ℝ$; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей $ℝ$.
• Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Любое вещественно замкнутое поле
• Поле вещественных рациональных функций: $\frac{p(x)}{q(x)}$, где $p(x),q(x)$ — многочлены, $q(x)\ne 0$. Упорядочим его следующим образом.
  • Пусть $p(x)=p_0{x}^n+\dots +p_n;q(x)=q_0{x}^m+\dots +q_m.$ Будем считать, что функция $\frac{p(x)}{q(x)}>0$, если $\frac{p_0}{q_0}>0$. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
  • Из определения вытекает, что многочлен $p(x)=x$ больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) $r(x)$, для которыхШаблон:Sfn $r(\pi )>0$.
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
• Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле $\mathbb{Q}[\theta ]$, порождённое добавлением к полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$ числа $\theta$ — одного из комплексных корней многочлена $x^3-2$. Данное поле изоморфно вещественному полю $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок

Примеры неупорядочиваемых полей

• комплексные числа
• конечные поля
• p-адические числа

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Шаблон:Книга.