Формально вещественное поле

Формально вещественное поле — поле, в котором элемент $-1$ нельзя представить как конечную сумму квадратов.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Для краткости иногда формально вещественное поле называют просто вещественным полем.Шаблон:Sfn

Примеры вещественных полей:

• поле вещественных чисел;
• поле рациональных чисел.Шаблон:Sfn

Существует несколько альтернативных эквивалентных определений формально вещественных полей:

• поле, характеристика которого не равна $2$ и в котором есть элемент, не являющийся суммой квадратов.Шаблон:Sfn
• поле, в котором сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю.Шаблон:Sfn
• поле, которое можно упорядочить (эквивалентость требует аксиомы выбора, а точнее теорему об ультрафильтре).Шаблон:Sfn

Свойства

Вещественное поле имеет характеристику $0$.Шаблон:Sfn Подполе вещественного поля является вещественным полем.Шаблон:Sfn

Любое упорядоченное поле является вещественным. Это утверждение не требует аксиомы выбора. Обратное утверждение, что любое вещественное поле можно упорядочить, эквивалентно теореме об ультрафильтре.Шаблон:Sfn

Ненулевые элементы $a$ вещественного поля $K$ можно поделить на 3 типа:

• $a$ представим в виде суммы квадратов, а $-a$ нет;
• $a$ непредставим в виде суммы квадратов, а $-a$ — представим;
• и $a$, и $-a$ непредставимы в виде суммы квадратов.

Случай, когда и $a$, и $-a$ представимы в виде суммы квадратов невозможен.

Если $a\ne 0$ и $a$ является суммой квадратов, то $a$ положителен в каждом упорядочении поля. Если $a\ne 0$ и $-a$ является суммой квадратов, то $a$ отрицателен в каждом упорядочении поля. Если ни $a$, ни $-a$ не являются суммой квадратов, то (при соблюдении аксиомы выбора, а точнее теоремы об ультрафильтре) существует как упорядочение, в котором $a$ положителен, так и упорядочение, в котором $a$ отрицателен.Шаблон:Sfn Если в вещественном поле для каждого элемента $a$ хотя бы один из элементов $a$ или $-a$ является суммой квадратов, то существует одно и только одно упорядочение этого поля (не требует аксиомы выбора).

Чисто трансцендентное расширение вещественного поля вещественно.Шаблон:Sfn Расширение вещественного поля корнем неприводимого многочлена нечётной степени вещественно.Шаблон:Sfn Расширение вещественного поля квадратным корнем элемента $a$, для которого $-a$ не является суммой квадратов, — вещественно. Расширение поля квадратным корнем ненулевого элемента $a$, для которого $-a$ является суммой квадратов, не является вещественным. Расширение упорядоченного поля некоторым множеством квадратных корней положительных элементов является вещественным.Шаблон:Sfn

В не вещественном поле, характеристика которого не равна $2$, любой элемент можно представить в виде конечной суммы квадратов.Шаблон:Sfn В поле характеристики $2$ могут встречаться элементы непредставимые в виде суммы квадратов, например элемент $t$ в расширении поля ${\mathbb{Z}}_2$ трансцендентным элементом $t$. Конечные поля (или даже вообще любые поля ненулевой характеристики) и алебраически замкнутые поля (в частности поля комплексных чисел и алгебраических чисел) вещественными не являются.Шаблон:Sfn

Вещественно замкнутое поле

Вещественное поле $K$ называется вещественно алгебраически замкнутым, если любое его собственное алгебраическое расширение, не является вещественным. Для краткости слово «алгебраически» зачастую опускают и говорят просто вещественно замкнутое поле.Шаблон:Sfn

Примеры вещественно замкнутых полей:

• поле вещественных алгебраических чисел;
• поле вещественных чисел.Шаблон:Sfn

В вещественно замкнутом поле для любого элемента $a$ хотя бы один из элементов $a$ или $-a$ является суммой квадратов, поэтому у него существует один и только один порядок.Шаблон:Sfn Так как такой порядок существует и единственен, любое вещественно замкнутое поле по умолчанию считают упорядоченным.Шаблон:Sfn Никакое вещественно замкнутое поле не может быть алгебраически замкнутым.Шаблон:Sfn

Следующие утверждения для поля $K$ являются эквивалентны тому, что поле $K$ — вещественно замкнуто:

• В поле $K$ для любого элемента $a$ хотя бы один из элементов $a$ или $-a$ имеет квадратный корень и любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень.Шаблон:Sfn
• Расширение поля $K$ корнем неприводимого многочлена $x^2+1$ является алгебраически замкнутым.Шаблон:Sfn

Для упорядоченного поля первое утверждение можно переписать так:

• В упорядоченном поле $K$ каждый положительный элемент имеет квадратный корень и любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень.Шаблон:Sfn

Это определение также эквивалентно остальным, потому что вещественно замкнутое поле всегда можно единственным способом упорядочить.

Для многочленов над вещественно замкнутым полем выполняется теорема Вейерштраса о корнях: для любого многочлена $f\in K[x]$ такого, что $f(a)<0,f(b)>0$, существует $c\in [a;b]$ такое, что $f(c)=0$.Шаблон:Sfn

Вещественное замыкание

Есть несколько эквивалентных определений вещественного замыкания поля. Поле $K^{\prime }$ называется вещественным вещественным замыканием поля $K$, если выполнено одно из следующих эквивалентных определений:

• $K^{\prime }$ минимальное по включению вещественно замкнутое расширение поля $K$;
• $K^{\prime }$ максимальное по включению алгебраическое вещественное расширение поля $K$;
• $K^{\prime }$ вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля $K$.Шаблон:Sfn

Для каждого вещественного поля существует вещественное замыкание, причём только одно с точностью до изоморфизма расширений (требует аксиому выбора, а точнее теорему об ультрафильтре). Для любого упорядоченного поля его вещественное замыкание можно выбрать так, что его порядок будет продолжать порядок основного поля. Вещественное замыкание не имеет автоморфизмов расширения кроме единичного.Шаблон:Sfn

В любом алгебраически замкнутом расширении вещественного поля содержится его вещественное замыкание. Аналогично, в любом вещественно замкнутом расширении вещественного поля содержится его вещественное замыкание. Любое алгебраически замкнутое поле $K$ характеристики ноль может быть получено присоединением к некоторому вещественно замкнутому полю корня неприводимого многочлена $x^2+1$. Более того, для любого вещественного подполя $K$ можно добиться того, чтобы такое вещественно замкнутое поле содержало его в качестве подполя.

Вещественным замыканием вещественного подполя $L\in K$ в вещественном поле $K$ называется множество всех вещественных над $L$ элементов поля $K$. Вещественное замыкание подполя $L$ в вещественном поле $K$ само является подполем $K$. Вещественное замыкание подполя $L$ в вещественно замкнутом поле будет вещественным замыканием поля $L$. Множество вещественных элементов не вещественного поля над вещественным подполем не обязано быть вещественным полем.

Примеры:

• Вещественное замыкание поля $\mathbb{Q}$ есть поле вещественных алгебраических чисел. Оно может быть получено как вещественное замыкание поля $\mathbb{Q}$ в $ℝ$.

Вариации и обобщения

Возможно обобщение вещественности на случай произвольных колец (не обязательно ассоциативных). Кольцо $R$ называется формально вещественным, если для любого конечного набора элементов $a_1,\dots ,a_n\in R$ выражение

$\sum _{i=1}^n{a}_i^2=0$

верно тогда и только тогда, когда

$a_1=\dots =a_n=0$.

Можно обобщить ещё дальше. Пусть на кольце $R$ задан автоморфизм $\phi$ такой, что $\phi \circ \phi =\mathrm{id}$. Кольцо $R$ называется формально комплексным, если для любого конечного набора элементов $a_1,\dots ,a_n\in R$ выражение

$\sum _{i=1}^n\phi (a_i)a_i=0$

верно тогда и только тогда, когда

$a_1=\dots =a_n=0$.Шаблон:Sfn

Формально вещественное кольцо есть частный случай формально комплексного с $\phi =\mathrm{id}$. Простейший пример формально комплексного кольца, не являющегося формально вещественным, — поле комплексных чисел с операцией комплексного сопряжения в качестве $\phi$.

Порядок, в котором умножаются $a_i$ и $\phi (a_i)$ в определении формально комплексного кольца не важен, поскольку

$0=\phi (0)=\phi (\sum _{i=1}^n\phi (a_i)a_i)=\sum _{i=1}^n\phi (\phi (a_i))\phi (a_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i\phi (a_i)$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Статья