Неассоциативное кольцо

Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Определение

Неассоциативное кольцо — множество $R$, на котором заданы две бинарные операции: $+$ и $\times$ (называемые сложением и умножением), со следующими свойствами, выполняющимися для любых $a,b,c\in R$:

1. $a+b=b+a$ — коммутативность сложения;
2. $a+(b+c)=(a+b)+c$ — ассоциативность сложения;
3. $\mathrm{\exists }0\in R(a+0=0+a=a)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. $\mathrm{\forall }a\in R\mathrm{\exists }b\in R(a+b=b+a=0)$ — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. $\{\begin{array}{c}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\ (b+c)\times a=b\times a+c\times a\end{array}$ — дистрибутивность.

Иными словами, неассоциативное кольцо — это универсальная алгебра $⟨R,+,\times ,0⟩$, такая что алгебра $⟨R,+⟩$ — абелева группа, и операция $\times$ дистрибутивна слева и справа относительно $+$.

Шаблон:ЯкорьКольцо, в котором операция умножения обладает свойством альтернативности, называется альтернативным.

Свойства

Даже если кольцо имеет единицу, не работает привычное понятие обратимого элемента: обратный может существовать с одной стороны и отсутствовать с другой, могут существовать с обеих сторон но быть разными, или существовать различные односторонние обратные к одному элементу. Также, наличие каких-либо обратных не гарантирует, что элемент не делит нуль, и не сохраняется при перемножении.

Аналогично обычным кольцам, Шаблон:Anchorнеассоциативное кольцо можно рассмотреть как неассоциативную алгебру над кольцом целых чисел.

Примеры

Алгебры (не обязательно ассоциативные) над полем или над кольцом являются неассоциативными кольцами.

Неассоциативными кольцами являются алгебры Ли и йордановы алгебры (с учётом определения как алгебр над кольцом целых чисел).

Полуполе — структура с делением, в которой ненулевые элементы которой образуют квазигруппу по умножению, также является неассоциативным кольцом.

Ссылки

• Шаблон:Книга